Гамильтониан (квант механикасы)

Wikipedia — ирекле энциклопедия проектыннан
Моңа күчү: навигация, эзләү
 Просмотр этого шаблона  Квант механикасы
\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}
Билгесезлек принцибы

Математик нигезләр
Шулай ук карагыз: Портал:Физика

Гамильтониан яки Һамилтониан квант теориясендә (tat.lat. Hamiltonian (kvant mexanikası)) — системаның тулы энергиясенең операторы.

Гамильтониан аты ирланд математигы Уильям Һамилтон исеменнән чыга.

Гамильтониан спектры - системаның тулы энергиясенең үлчәгәндә мөмкин булган микъдарлар күплеге.

Гамильтониан спектры өзлексез һәм дискрет булу ихтимал. Кайбер очракта (Кулон потенциалы өчен) спектр өзлексез һәм дискрет өлешләрдән гыйбарәт.

Шрөдингер тигезләмәсе[үзгәртү]

Гамильтониан квант халәтләренең вакытка бәйле үзгәрешләрен булдыра.  \left| \psi (t) \right\rangle - Квант халәтендә t-вакытында өчен:

 H \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {\partial\over\partial t} \left| \psi (t) \right\rangle.

Бу формула Шрөдингер тигезләмәсе исемләнә. Әгәр H вакытка бәйле булмаса, шунда Шрөдингер тигезләмәсе чишүе:

 \left| \psi (t) \right\rangle = e^{-iHt/\hbar} \left| \psi (0) \right\rangle.


Вакытлыча үзгәреш операторы яки йомык квант системасы пропагаторы:

 U = e^{-iHt/\hbar}

Ирекле кисәкчек[үзгәртү]

Потенциаль энергия булмаганда, Гамильтониан бер үлчәнеш өчен:

\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}


өч үлчәнеш өчен:

\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta

Потенциаль чокыр[үзгәртү]

Даими потенциал V = V0 очрагында Гамильтониан бер үлчәнеш өчен:

\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V_0

өч үлчәнеш өчен:

\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V_0

Гади гармоник тирбәнешкеч[үзгәртү]

Гади гармоник бер үлчәнешле осциллятор өчен:

V = \frac{k}{2}x^2 = \frac{m\omega^2}{2}x^2

биредә әйләнү ешлыгы, сыгылмалылык коэффициенты k, һәм осцилляторның массасы m үзара бәйләшәләр:

\omega^2 = \frac{k}{m}

Шуңа күрә Гамильтониан:

\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{m\omega^2}{2}x^2

өч үлчәнеш өчен:

\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + \frac{m\omega^2}{2} r^2


биредә өч үлчәнешле радиус-векторы r:

r^2 = \bold{r}\cdot\bold{r} = |\bold{r}|^2 = x^2+y^2+z^2

Тулы Гамильтониан - бер үлчәнешле Гамильтонианнар суммасына тигез:

\begin{align} \hat{H} & = -\frac{\hbar^2}{2m}\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right) + \frac{m\omega^2}{2} (x^2+y^2+z^2) \\
& = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{m\omega^2}{2}x^2\right) + \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{m\omega^2}{2}y^2 \right ) + \left(- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial z^2} +\frac{m\omega^2}{2}z^2 \right) \\
\end{align}

Моны да карагыз[үзгәртү]

Әдәбият[үзгәртү]

  • Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. 5-е изд. Наука, 1976. — 664 с.
  • Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М.: Мир, 1990. — 720 c.
  • Дирак П. Принципы квантовой механики. 2-е изд. М.: Наука, 1979. — 480 с.
  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Физматлит, 2008. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — 3000 экз. — ISBN 978-5-9221-0530-9