«Дирак тигезләмәсе» битенең юрамалары арасында аерма

Навигациягә күчү Эзләүгә күчү
4423 байта добавлено ,  3 года назад
 
: <math>\partial_\mu \rightarrow D_\mu = \partial_\mu - i e A_\mu. </math>
 
==Дирак тигезләмәсен чыгару==
 
Дирак тигезләмәсе — [[Шрөдингер тигезләмәсе]]нең гомумиләштерүе:
 
: <math> H \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {d\over d t} \left| \psi (t) \right\rangle.</math>
 
яки
 
: <math> H \psi (\mathbf{x},t) = i \hbar \frac{\partial\psi(\mathbf{x},t)}{\partial t} , </math>
 
биредә [[гамильтониан (квант механикасы)|гамильтониан]] ''H'' дулкынча функциягә тәэсир итә.
 
Релятивистик булмаган ирекле электрон өчен гамильтониан классик механикада кебек кинетик энергия белән билгеләнә:
 
: <math> H = \sum_{j=1}^3 \frac{p_j^2}{2m}, </math>
 
биредә ''p<sub>j</sub>'' — импульс проекцияләре операторлары, һәр оператор фәзадан чыгарылма кебек тәэсир итә:
 
: <math>p_j \psi(\mathbf{x},t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - i \hbar \, \frac{\partial\psi (\mathbf{x},t)}{\partial x_j}.</math>
 
Ләкин релятивистик кисәкчек өчен гамильтониан башкача тасвирлана. Релятивистик нисбәт буенча системаның гомуми энергиясе болай тасвирлана ([[Махсус чагыштырмалылык теориясе]]):
 
: <math>E = \sqrt{(mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2}.</math>
 
Шуннан:
 
: <math> \sqrt{(mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2} \ \psi = i \hbar \frac{d\psi}{d t}. </math>
 
Ләкин әлеге тигезләмә дә кайбер фундаменталь релятивистик мәскәкләргә туры килми: анда Лоренц ковариантлыгы юк - ягъни [[вакыт]] һәм [[фәза]] бу тигезләмәдә "тиң хокуклы" булмый, ә шушы мәсләк - [[Махсус чагыштырмалылык теориясе]]нең нигезе булып тора.
 
Әгәр тигезләмәнең уң өлешендә вакыттан беренче чыгарылма бар икән, димәк сул өлешендә фәза координатларыннан тик беренче чыгарылма (импульс беренче дәрәҗәдә) булырга тиеш. Дирак шуны исәпкә алып, беренче чырарылмалар алдыннан махсус даими коэффицинтлар кертеп, тигезләмәне чыгарган:
 
::{|cellpadding="2" style="border:2px solid #ccccff"
|<math>i\hbar \frac{d\psi}{dt} = \left[ c \sum_{i=1}^3 \alpha_i p_i + \alpha_0 mc^2 \right] \psi</math>
|}
 
— ирекле кисәкчек өчен Дирак тигезләмәсе.
 
Дирак тәкъдиме буенча:
 
: <math> (mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2 </math>
 
ягъни
 
: <math> \left( mc^2 \alpha_0 + c \sum_{j=1}^3 \alpha_j p_j \,\right)^2
= (mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2. </math>
 
Шуннан:
 
: <math>
\alpha_i \alpha_j + \alpha_j \alpha_i = 0\,,</math> для всех <math> i,j = 0, 1, 2, 3 (i \ne j),
</math>
: <math>
\alpha_i^2 = 1\,,</math> для всех <math> i = 0, 1, 2, 3.\
</math>
 
бергә язап::
 
: <math> \alpha_i \alpha_j + \alpha_j \alpha_i = 2 \delta_{ij}\ </math> для <math>\ i,j = 0, 1, 2, 3, </math>
 
антикоммутатор ярдәмендә болай языла:
 
: <math>
\left\{\alpha_i , \alpha_j\right\} = 2\delta_{ij}\ </math> для <math>\ i,j = 0, 1, 2, 3.
</math>
 
биредә {,} — [[антикоммутатор]
*''δ''<sub>ij</sub> — [[Кронекер символы]]
 
α —сызыкча операторлар яки матрицалар.
 
Дулкынча функцияләр дүрт компонентлы булып чыга.
 
: <math>\alpha_0 = \begin{bmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{bmatrix} \quad \alpha_j = \begin{bmatrix} 0 & \sigma_j \\ \sigma_j & 0 \end{bmatrix} </math>
 
биредә ''0'' и ''I'' — 2×2 нуль и берәмлекле матрицалар
* σ<sub>''j''</sub> (''j'' = 1, 2, 3) — [[Паули матрицалары]]
 
Гамильтониан тигезләмәдә:
 
: <math> H = \,mc^2 \alpha_0 + c \sum_{j = 1}^3 \alpha_j p_j</math>
 
'''Дирак гамильтонианы''' дип атала.
 
== Моны да карагыз ==
22 323

правки

Навигация