Термодинамик бета

Температура/салкынлыкны үзгәртү шкаласы СИ: Кельвин шкаласы буенча температуралар зәңгәр төс белән күрсәтелгән (Цельсий шкаласы — яшел, Фаренгейт шкаласы — кызыл), гигабайтларда наноджоульгә салкынлык кыйммәтләре кара төс белән күрсәтелгән. Чиксез температура (нуль салкынлык) диаграмманың өске өлешендә күрсәтелгән; уңай салкынлык/температура кыйммәтләре — уңда, тискәреләре — сулда.

Статистик термодинамикада термодинамик бета, шулай ук салкынлык дип тә атала, — системаның термодинамик температурасына кире зурлык:$$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}$$ (монда T — температура, ә k_B — Больцман даимие).

Термодинамик бетаның үлчәме энергиягә кире (СИ берәмлекләрендә, кире джоуль, $[\beta ]={\textrm {J}}^{-1}$). Җылылыкка бәйле булмаган берәмлекләрдә аны шулай ук джоульгә байтларда яки, уңайлырак булсын өчен, гигабайтларда наноджоульгә үлчәп була; 1 K⁻¹ якынча 13 062 гигабайт/наноджоульгә тиң; бүлмә температурасында: T = 300 K, β ≈ 44 ГБ/нДж ≈ 39 эВ⁻¹ ≈ 2,4 ⋅ 10²⁰ Дж⁻¹. Үзгәртү коэффициенты: 1 ГБ/нДж = $8\ln 2\times 10^{18}$ Дж⁻¹.

Тасвирлама

Термодинамик бета, асылда, мәгълүмат теориясе һәм статистик механика арасында бәйләүче буын булып тора, ул физик системаны аның энтропиясе аша һәм аның энергиясе белән бәйле термодинамикада аңлату өчен хезмәт итә. Ул энергия артуына энтропиянең реакциясен күрсәтә. Системага аз гына энергия өстәлсә, β системаның очраклылану (рандомизация) дәрәҗәсен тасвирлый.

Энтропия функциясе буларак температураның статистик билгеләмәсе аша, салкынлык функциясен микроканоник ансамбльдә түбәндәге формула буенча исәпләп була:

$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}},={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}\left({\frac {\partial S}{\partial E}}\right)_{V,N}$

(ягъни, S энтропиясенең E энергиясе буенча даими V күләме һәм N кисәкчекләре санында алынган аерым чыгарылмасы).

Өстенлекләре

β концептуаль яктан температурага тулысынча эквивалент булса да, ул гадәттә температурага караганда фундаментальрәк зурлык дип санала, чөнки тискәре температура күренешендә β нуль аша үткәндә өзлексез, ә T исә сингулярлыкка ия.

Моннан тыш, β ның сәбәп-нәтиҗә бәйләнешен аңлау җиңелрәк: әгәр системага аз гына җылылык өстәлсә, β җылылык артуына бүленгән энтропия артуын күрсәтә. Температураны шул ук мәгънәдә аңлату катлаулы, чөнки системага температура, күләм яки кисәкчекләр саны кебек башка зурлыкларны үзгәртеп, турыдан-туры булмаган юл белән генә "энтропия өстәп" була.

Статистик интерпретация

Статистика күзлегеннән караганда, β — тигезлектәге ике макроскопик системаны бәйләүче санлы зурлык. Төгәл формулировкасы түбәндәгечә. Бер-берсе белән җылылык контактында булган 1 һәм 2 системаларны карыйк, аларның энергияләре E₁ һәм E₂. Фараз итик, E₁ + E₂ = даими E. Һәр системаның микрохаләтләре санын Ω₁ һәм Ω₂ дип билгелик. Безнең фаразыбыз буенча, Ω_i фәкать E_i гә бәйле. Без шулай ук 1 нче системаның E₁ белән ярашкан һәр микрохаләте 2 нче системаның E₂ белән ярашкан һәр микрохаләте белән бергә була ала дип уйлыйбыз. Шулай итеп, берләштерелгән система өчен микрохаләтләр саны:

$\Omega =\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E_{2})=\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E-E_{1}).,$

Без β ны статистик механиканың төп постулатыннан чыгарачакбыз:

Берләштерелгән система тигезлеккә ирешкәч, Ω саны максимальләшә.

(Башка сүзләр белән әйткәндә, система табигый рәвештә максималь микрохаләтләр санына омтыла.) Димәк, тигезлектә:

${\frac {d}{dE_{1}}}\Omega =\Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})+\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})\cdot {\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=0.$

Ләкин E₁ + E₂ = E булудан:

${\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=-1.$

Шулай итеп

$\Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})-\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})=0$

ягъни

${\frac {d}{dE_{1}}}\ln \Omega _{1}={\frac {d}{dE_{2}}}\ln \Omega _{2}\quad {\mbox{тигезлектә.}}$

Югарыдагы нисбәт β билгеләмәсенә этәргеч бирә:

$\beta ={\frac {d\ln \Omega }{dE}}.$

Статистик һәм термодинамик аңлатмаларның бәйләнеше

Ике система тигезлектә булганда, аларның термодинамик температурасы T бер үк. Шуңа күрә интуитив рәвештә β ның (микрохаләтләр аша билгеләнгән) T белән ничектер бәйле булуын көтәргә мөмкин. Бу бәйләнеш Больцманның төп постулаты белән тәэмин ителә, ул болай языла:

$S=k_{\rm {B}}\ln \Omega ,$

монда k_B — Больцман даимие, S — классик термодинамик энтропия, ә Ω — микрохаләтләр саны. Шулай итеп,

$d\ln \Omega ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}dS.$

Югарыдагы статистик билгеләмәдән β билгеләмәсенә куйсак, табабыз:

$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}{\frac {dS}{dE}}.$

Термодинамик формула белән чагыштырып:

${\frac {dS}{dE}}={\frac {1}{T}},$

алабыз:

$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}={\frac {1}{\tau }}$

монда $\tau$ системаның фундаменталь температурасы дип атала һәм энергия үлчәменә ия.

Тарих

Термодинамик бета башлангыч тапкыр 1971 елда Инго Мюллер тарафыннан (Kältefunktion «салкынлык функциясе» буларак) кертелә, ул рациональ термодинамика мәктәбе тарафдарларының берсе, «кире температура» функциясе турындагы элеккеге тәкъдимнәргә нигезләнеп.

Шулай ук карагыз

Больцман бүленеше

Каноник ансамбль

Изинг моделе