Чигереш комплекс анализда - локаль үзлекләрен тасвирлаучы функциянең махсус объекты.
a
{\displaystyle a}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
чигереше
R
e
s
a
f
(
z
)
=
lim
ρ
→
0
1
2
π
i
∫
|
z
−
a
|
=
ρ
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle \mathop {\mathrm {Res} } _{a}\,f(z)=\lim _{\rho \to 0}{1 \over {2\pi i}}\int \limits _{|z-a|=\rho }\!f(z)\,dz}
Чигереш Лоран рәтенең
f
(
z
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
c
n
(
z
−
a
)
n
{\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}}
c
−
1
{\displaystyle c_{-1}}
Чиксезлектә чигереш: :
R
e
s
∞
f
(
z
)
=
−
lim
ρ
→
∞
1
2
π
i
∫
|
z
|
=
ρ
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle \mathop {\mathrm {Res} } _{\infty }\,f(z)=-\lim _{\rho \to \infty }{1 \over {2\pi i}}\int \limits _{|z|=\rho }\!f(z)\,dz}
Һәм ул Лоран рәтенең -1 нче коэффициентына тигез:
R
e
s
∞
f
(
z
)
=
−
c
−
1
{\displaystyle \mathop {\mathrm {Res} } _{\infty }\,f(z)=-c_{-1}}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
L
{\displaystyle L}
1
2
π
i
∮
L
f
′
(
z
)
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle {1 \over {2\pi i}}\oint \limits _{L}\!{f^{\prime }(z) \over f(z)}\,dz}
Алынучан махсус ноктада чигереш нульга тигез, ләкин чиксезлектә бу дөрес түгел. Мәсәлән:
f
(
z
)
=
1
z
{\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}}
R
e
s
∞
1
z
=
−
1
{\displaystyle \mathop {\mathrm {Res} } _{\infty }\,{\frac {1}{z}}=-1}
d
z
z
{\displaystyle {\frac {dz}{z}}}
n
{\displaystyle n}
a
{\displaystyle a}
R
e
s
a
f
(
z
)
=
1
(
n
−
1
)
!
lim
z
→
a
d
(
n
−
1
)
d
z
(
n
−
1
)
[
(
z
−
a
)
n
f
(
z
)
]
{\displaystyle \mathop {\mathrm {Res} } _{a}\,f(z)={1 \over (n-1)!}\lim _{z\to a}{{d^{(n-1)} \over dz^{(n-1)}}[(z-a)^{n}f(z)]}}
аерым очрак:
n
=
1
{\displaystyle n=1}
R
e
s
a
f
(
z
)
=
lim
z
→
a
(
z
−
a
)
f
(
z
)
{\displaystyle \mathop {\mathrm {Res} } _{a}\,f(z)=\lim _{z\to a}{(z-a)f(z)}}
Әгәр
f
(
z
)
=
g
(
z
)
h
(
z
)
{\displaystyle f(z)={\frac {g(z)}{h(z)}}}
a
{\displaystyle a}
R
e
s
a
f
(
z
)
=
g
(
a
)
h
′
(
a
)
{\displaystyle \mathop {\mathrm {Res} } _{a}\,f(z)={\frac {g(a)}{h^{\prime }(a)}}}
Махсус аерым нокталар өчен Лоран рәте кулланыла:. Мәсәлән,
R
e
s
0
e
1
/
z
=
R
e
s
0
(
1
+
1
z
+
1
2
!
z
2
+
…
)
=
1
{\displaystyle \mathop {\mathrm {Res} } _{0}\,e^{1/z}=\mathop {\mathrm {Res} } _{0}\,\left(1+{\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2!z^{2}}}+\ldots \right)=1}
Әгәр
f
{\displaystyle f}
G
¯
⊂
C
{\displaystyle {\overline {G}}\subset \mathbb {C} }
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
{\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}
∫
∂
G
f
(
z
)
d
z
=
2
π
i
∑
k
=
1
n
r
e
s
z
=
a
k
f
(
z
)
{\displaystyle \int \limits _{\partial G}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\mathop {\mathrm {res} } _{z=a_{k}}f(z)}
биредә
r
e
s
z
=
a
k
f
{\displaystyle \mathop {\mathrm {res} } _{z=a_{k}}f}
a
k
{\displaystyle a_{k}}
f
{\displaystyle f}
Нәкъ әлеге теорема ярдәмендә катлаулы интеграллар табып була.
Мәсәлән:
Интеграл табу контуры. Интеграл
∫
−
∞
∞
e
i
t
x
x
2
+
1
d
x
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }{e^{itx} \over x^{2}+1}\,dx}
∫
C
f
(
z
)
d
z
=
∫
C
e
i
t
z
z
2
+
1
d
z
.
{\displaystyle \int \limits _{C}{f(z)}\,dz=\int \limits _{C}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz.}
e
i
t
z
z
2
+
1
{\displaystyle {\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}}
=
e
i
t
z
2
i
(
1
z
−
i
−
1
z
+
i
)
{\displaystyle {}={\frac {e^{itz}}{2i}}\left({\frac {1}{z-i}}-{\frac {1}{z+i}}\right)}
=
e
i
t
z
2
i
(
z
−
i
)
−
e
i
t
z
2
i
(
z
+
i
)
,
{\displaystyle {}={\frac {e^{itz}}{2i(z-i)}}-{\frac {e^{itz}}{2i(z+i)}},}
Чигереш :
res
z
=
i
f
(
z
)
=
e
−
t
2
i
.
{\displaystyle \operatorname {res} _{z=i}f(z)={e^{-t} \over 2i}.}
∫
C
f
(
z
)
d
z
=
2
π
i
res
z
=
i
f
(
z
)
=
2
π
i
e
−
t
2
i
=
π
e
−
t
.
{\displaystyle \int \limits _{C}f(z)\,dz=2\pi i\,\operatorname {res} _{z=i}f(z)=2\pi i{e^{-t} \over 2i}=\pi e^{-t}.}
∫
straight
+
∫
arc
=
π
e
−
t
.
{\displaystyle \int \limits _{\mbox{straight}}+\int \limits _{\mbox{arc}}=\pi e^{-t}\,.}
∫
−
a
a
=
π
e
−
t
−
∫
arc
.
{\displaystyle \int \limits _{-a}^{a}=\pi e^{-t}-\int \limits _{\mbox{arc}}.}
∫
arc
e
i
t
z
z
2
+
1
d
z
→
0
;
a
→
∞
.
{\displaystyle \int \limits _{\mbox{arc}}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz\rightarrow 0;\quad a\rightarrow \infty .}
∫
−
∞
∞
e
i
t
z
z
2
+
1
d
z
=
π
e
−
t
.
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-t}.}
∫
−
∞
∞
e
i
t
z
z
2
+
1
d
z
=
π
e
t
,
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{t},}
∫
−
∞
∞
e
i
t
z
z
2
+
1
d
z
=
π
e
−
|
t
|
.
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.}
Бу интеграл ихтималлык теориясендә бик мөһим була һәм тик чигерешләр ярдәмендә исәпләнә.
Тригонометрик функциядән билгеләнгән интеграл табу [ үзгәртү | вики-текстны үзгәртү ]
∫
0
2
π
R
(
sin
φ
;
cos
φ
)
d
φ
{\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }R\!(\sin \varphi ;\;\cos \varphi )\,d\varphi }
z
=
e
i
φ
{\displaystyle z=e^{i\varphi }}
∫
0
2
π
R
(
sin
φ
,
cos
φ
)
d
φ
=
2
π
i
∑
R
e
s
z
=
z
k
R
(
z
)
{\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\!R(\sin \varphi ,\;\cos \varphi )\,d\varphi =2\pi i\sum \mathop {\mathrm {Res} } _{z=z_{k}}R(z)}
Чигерешләр ярдәмендә чиксез өлкәләге интеграл табу өчен түбәндәге тигезләмәләр кулланыла:
1.
lim
z
→
∞
z
f
(
z
)
=
0
{\displaystyle \lim _{z\to \infty }zf(z)=0}
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
)
d
x
=
2
π
i
∑
k
=
1
n
R
e
s
z
=
z
k
f
(
z
)
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!f(x)\,dx=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\mathop {\mathrm {Res} } _{z=z_{k}}f(z)}
2.
lim
z
→
∞
z
f
(
z
)
=
0
{\displaystyle \lim _{z\to \infty }zf(z)=0}
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
)
e
i
α
x
d
x
=
2
π
i
∑
k
=
1
n
R
e
s
z
=
z
k
f
(
z
)
e
i
α
z
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!f(x)e^{i\alpha x}\,dx=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\mathop {\mathrm {Res} } _{z=z_{k}}f(z)e^{i\alpha z}}
Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с. 
![{\displaystyle \mathop {\mathrm {Res} } _{a}\,f(z)={1 \over (n-1)!}\lim _{z\to a}{{d^{(n-1)} \over dz^{(n-1)}}[(z-a)^{n}f(z)]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e1e3db19e51ae2f6b65f308afb39709e00c54f0)
