Чиксезлек

Wikipedia — ирекле энциклопедия проектыннан ([http://tt.wikipedia.org.ttcysuttlart1999.aylandirow.tmf.org.ru/wiki/Чиксезлек latin yazuında])
Навигациягә күчү Эзләүгә күчү

Чиксезлек — математикада, фәлсәфәдә һәм табигать фәннәрендә кулланылучы концепция. Берәр төшенчәнең яки сыйфатның чиксез булуы аның чикләрен күрсәтүдә яки микъдари үлчәмен билгеләүдә кыенсынуны яки мөмкинчелек булмауны аңлата. Бу төшенчәнең төгәл мәгънәсе аның кулланылу өлкәсенә карап төрлечә була.

Чиксезлек мәдәнияттә һәм фәлсәфәдә[үзгәртү | вики-текстны үзгәртү]

Чиксезлек математикада[үзгәртү | вики-текстны үзгәртү]

Чиксезлек тамгасы

Чиксезлек — чикләрен билгеләү яки сан микъдарын күрсәтү мөмкин булмаган, чиксез, иге-чиге булмаган, ахырсыз предметларны һәм күренешләрне сыйфатландыру өчен кулланылган фикерләү категориясе. Чикле, исәпләнә торган, чиге булган дигәнгә капма-каршы кулланыла. Математикада, логикада һәм фәлсәфәдә даими тикшерелә, шулай ук психологиядә, теологиядә, физикада шуңа ярашлы рәвештә чиксезлекне аңлау, статусы һәм табигате турында мәсьәләләр өйрәнелә. Тарихи чиксезлекнең беренче проблемалары — пространство һәм вакытның чиклелек мәсьәләләре, дөньяда әйберләр саны, катлаулырак проблемалар — континуумны чиксез бүлү мөмкинлеге, чиксез объектлар белән эш итү мөмкинлеге - актуаль чиксезлек проблемасы, чиксез бәләкәй зурлыкларның — инфинитезимальләрнең табигате һәм үзләрен тотышы, төрле төрдәге чиксезлекләрнең булуы һәм алар арасындагы нисбәт. Математик күплекләр теориясендә чиксезлекне тирәнрәк тикшеренә башлыйлар, анда берничә чиксез объектларның төрле төрләрен үлчәү системалары төзелә, ләкин өстәлмә ясалма чикләүләрсез мондый төзүләр күп сандагы парадокслар тудыра, аларны җиңеп чыгу юллары, теоретик-күплекле төзүләрнең, аларның нәтиҗәләренең һәм альтернативаларының статусы хәзерге заман фәйләсуфларның тикшеренүләренең төп юнәлешләре булып тора.

Төп төшенчәләр[үзгәртү | вики-текстны үзгәртү]

Потенциаль һәм актуаль чикһезлек[үзгәртү | вики-текстны үзгәртү]

Чиксезлек ниндидер процессның чикләнмәгәнлеге итеп каралырга мөмкин, мәсәлән, Евклидның икенче постулатында теләсә нинди туры сызыкны чиксез һәм өзлексез дәвам итү мөмкинлеге расланганда, процессны өзлексез дәвам итәргә мөмкин булуы күз уңында тотыла, ләкин андый чиксез туры сызык кебек үз алды объектның булуы аннан килеп чыкмый. Шундый төрдәге процессларны һәм аларны тасвирлаучы объектлар җыелмасын, потенциаль чиксезлек дип сыйфатландыралар. (Схоластикада «синкатегорематик чиксезлек» термины кулланыла), чиксез предметларны һәм күренешләрне күз уңында тотмый, чиксез процессның һәр фазасында тик чикле субъектлар гына карала, ягъни ул тик чиклене өлөшләтә генә инкарь итү булып тора. Альтернативасы булып актуаль чиксезлек (схоластикада — «категорематик чиксезлек») төшенчәсе тора, ул чикле исәпләп булмаган объектларны бирелгән, реаль булган, әммә бүленмәс һәм бер бөтен, аларга таянып эш итергә мөмкин тип исәпләүне аңлата. Бу юнәлештә чиксезлек актуаль — чиклене турыдан-туры һәм тулысынча инкарь итү буларак — мистиклар тарафыннан төрле дини категорияләрне сыйфатландыру өчен кулланыла, хәзерге заман математиклары актуаль чиксез күплекләр һәм актуаль чиксез үлчәмле пространстволар белән эш итәләр. Фәлсәфәдә, теологияда, логикада, математикада, табигый фәндә фактик чиксезлекнең рөхсәт ителгәнлеге һәм эчтәлеге турындагы фикерләр мәсьәләне караган бөтен вакыт дәвамында сизелерлек үзгәрә.

Сыйфат һәм сан ягыннан чиксезлек[үзгәртү | вики-текстны үзгәртү]

Сыйфат ягыннан чиксезлек — объектлар һәм күренешләр бәйләнешенең гомуми, бетмәс, универсаль табигатен билгеләүче категория[1], Абсолют, Космос, Ходай, Акыл һәм башка категорияләр төрле фәлсәфәви мәктәпләрдә төрле вакытларда сыйфат ягыннан чиксезлек дип каралалар. Сан ягыннан чиксезлек чикле зурлыклар белән үлчәү мөмкин булмаган процессларны һәм объектларны сыйфатландыра. Математиклар, мәсәлән, чиксез рәтләрнең хасиятләрен, чиксез үлчәмле пространстволарны, чиксез сандагы элементларны булган күплекләрне өйрәнгәндә сан ягыннан чиксезлек төшенчәсе белән эш итәләр; логикада һәм фәлсәфәдә сан ягыннан чиксезлек төшенчәсе белән эш итү мөмкинлекләре һәм чикләүләр өйрәнелә.

Континуум[үзгәртү | вики-текстны үзгәртү]

Континуум (лат. continuum) — объектларның компонент өлешләргә чиксез бүленү мөмкинлеге һәм бу процессның потенциаль чиксезлеге мәгънәсендә өзлексезлек, бөтенлек идеясенә караган чиксезлек формасы. Континуальлек дискретлыкка, өзеклеккә, бүленмәс (атомар) компонентларның булуына капма-каршы куеа. Санлы күчәрнең кисәкләре (континуум күплекләр теориясендә), ниндидер мәгънәдә санлы күчәрнең кисәкләре белән охшаш, чикләнгән һәм аерып алынмалы пространстволарның билгеле бер төре (топологиядә континуум) континуумны гәүдәләндерә. Континуумның чиксез бүленүчәнлек үзлекләрен өйрәнү нигезендә математикада өзлексезлек төшөнчәсе кертелә. Континуумның онтологик табигате, табигать фәнендә континуумның статус турында мәсьәләләр антиклык заманнарынан башлап философларның бик күп хезмәтләрендә чагылыш таба[2].

Инфинитезималь[үзгәртү | вики-текстны үзгәртү]

Инфинитезимальләр — зурлыкларның дәвамлы кимүе белән сыйфатландырылган потенциаль чиксез процессларда, атап әйткәндә, континуумны компонент өлөшләргә бүлгәндә, кимүче санлы дәвамлылыкларда, кайсы бердә Галәмнең я аңның атом төзелеше турында тәгълимәттә катнашкан чиксез бәләкәй зурлыклар. Исаак Ньютон һәм Готфрид Лейбниц тарафыннан чиксез бәләкәйләр исәпләмәсендә булдырылган инфинитезимальләрнең математик тасвирламасы математик анализның нигезе булып тора.

Математикада[үзгәртү | вики-текстны үзгәртү]

Саннар теориясе[үзгәртү | вики-текстны үзгәртү]

Чиксезлек турындагы иртә фикерләрнең төп чыганакларның берсе булып натураль саннар һәм натураль рәтнең потенциаль чиксезлеге тора. Чиксезлек турында саннар теориясендә күп булмаган нәтиҗәләрнең берсе дип Евклидның "Башлангычлар"ында гади саннар күплегенең чиксезлеген киресеннән чыгып исбатлау исәпләнә[3]: әгәр гади саннар күплеге чикле дип уйлаганда, берәмлек һәм бу күплектәге бөтен гади саннарның тапкырламасы суммасына тигез булган сан бу саннарның берсенә дә бүленми, ләкин ул чакта бу сан я үзе гади сан булып тора, яки баштагы күплеккә кермәгән ниндидер гади санга бүленә; ләкин боларның икесе дә баштагы шартларга каршы килә. Чиксезлек турында теоретик-санлы фикер йөртү Галилей парадоксын тудыра: һәр санга аның квадраты ярашлы куелырга мөмкин, ягъни, квадратлар бөтен саннардан ким түгел, шуның белән бергә һәр саннан квадрат тамыр алып булмый, ягъни, квадратлар — бөтен саннар күплегенең бер өлөше генә. Саннар теориясендә актуаль чиксезлекнең нинди дә булса абстракциясен куллану таләп ителми, шулай булуга карамастан, аның күп мәсьәләләре чиксезлек шарты формулировкасы белән бәйле, мәсәлән, 2019 елга карата, бирелгән сан модульләре буенча алынма тамыр булып торган гади саннар күплегенең чиксезлеге (Артин гипотезасы), гади игезәк-саннар күплегенең чиксезлеге, һәр җөп сан өчен аермалары бу санга тигез булган күрше гади саннар парлары күплегенең чиксезлеге (Полиньяк гипотезасы), камил саннар күплегенең чиксезлеге турында мәсьәләләр ачык проблемалар булып торалар.

Чиксез рәтләр[үзгәртү | вики-текстны үзгәртү]

Архимед параболасы

Чиксез рәтне куллануның беренче дәлиле Архимедның "Парабола квадратурасы"нда күренә, анда туры сызык һәм парабола арасындыгы сегментның һәм аның белән нигезе шул ук һәм биеклеге тигез булган өчпочмакның мәйданнарының нисбәте 4:3 дигән раслауны исбатлау өчен ул чиксез рәтнең суммасын исәпләп чыгара:

,

һәм азак нәтиҗәне киресенән чыгып исбатлау ысулы белән киредән тикшерә[4]. 1340-чы елларда Суайнсхед беренче тапкыр гади кими баручы геометрик прогрессия булмаган чиксез рәтнең суммасын таба:

.

Шулай ук XIV гасырда Орем чиксез рәтләр белән эшли, ачык геометрик исбатлаулар кулланып, ул сирәк санлы рәтләрнең ярыйсы ук суммасын таба, чиксез геометрик прогрессия суммасының формуласын (исбатламыйча) таба һәм гармоник рәтнең таралучанлыгын исбатлый[4]. XVI гасырда, Оремның нәтиҗәләрен кулланып, Томаш Алваруш катлаулы законнар белән төзелгән кайсыбер чиксез прогрессияларның суммасын таба[4]. Һиндстанда XV гасырда тригонометрик функцияларның чиксез дәрәҗәле рәтләргә таркалмасы табыла[4], Сангамаграмадан Мадхава иң күп өлеш кертә[5].

Менголи 1650 елда басылып чыккан трактатында рәтләрнең күп кенә мөһим үзенчәлекләрен ачыклый, рәт калдыгы төшенчәсе кертә, шулай итеп төгәл билгеле булмаган рәтләрне бөтен объектлар итеп карый, шулай ук гомумиләштерелгән гармоник рәтнең таралучанлыгын исбатлый[6]. Меркатор 1668 елда логарифмик функциянең дәрәҗәле рәткә таркалмасын[7], ә 1667 елда Грегоритригонометрик функцияларның таркалмасын ача, һәм, азак килеп, Тейлор, Меркаторның, Грегориның, шулай ук Ньютонның нәтиҗәләрен гомумиләштереп, 1715 елда теләсә нинди аналитик функцияне бирелгән ноктада чиксез рәткә таркатырга мөмкин булуын күрсәтә, шуның белән функцияларның киң классының кыйммәтләрен чиксез сумма итеп күрсәтү мөмкинлеген ачыклый.

Чиксез бәләкәйләр исәпләмәсе[үзгәртү | вики-текстны үзгәртү]

Антиклык чорыннан билгеле булган файдаланып бетү ысулы, һәм Кавальери тарафыннан 1635 елда формулировкаланган бүленмәүчеләр ысулы ниндидер дәрәҗәдә чиксез бәләкәй зурлыклар мәгълүматын куллансалар да, иң элек башлап Валлис, Барроу һәм Грегори XVII гасыр уртасында чиксез бәләкәйләр белән гамәлләрне алгебралаштырырга тырышып карыйлар, ачыктан-ачык инфинитезимальләрне 1680-ынчы елларда бер үк вакытта Ньютон үзенең "флюксий ысулы"нда (чиксез бәләкәй үсешләр) һәм Лейбниц (дифференциалны билгеләүче) математик абстракциялыйлар[8]. Чиксез бәләкәйләрнең катгый билгеләмәсен чикләнмә, җыелучанлык һәм өзлексезлек төшенчәләрен кулланып XIX гасырда Коши һәм Вейерштрасс бирә, бу билгеләмәләрдә (ε, δ) иң традицион булып китә (мәсәлән, әгәр теләсә нинди өчен, -тың шартын кәнәгатьләндергән теләсә нинди кыйммәтендә үтәлгән табылса, Коши буенча функциясенең ноктасында чикләнмәсе дип исәпләнә). Чиксез бәләкәйләрнең соңрак бирелгән билгеләмәләрендә тирә-як — асык аскүплек (Гейне) техникасы кулланыла, алар табигый рәвештә гомуми топологияда (ачык күплек төшөнчәсен абстракциялаучы) гомумиләштерелә. Робинсонның Стандарт булмаган анализында (1960-ынчы еллар) чиксез бәләкәйләр теләсә нинди өчен -нан зур булмаган гомумиләштерелгән саннар төре сыман кертеләләр, бөтен мондый саннар классы «нуль монадасы» белән актуальләштерелә[8].

Математик анализ[үзгәртү | вики-текстны үзгәртү]

Чиксез бәләкәйләр исәпләмәсе нигезендә төзелгән математик анализда ачыктан-ачык чиксез зур зурлыклар абстракциясе кертелә: чын саннар күплегенә чиксез ерак нокталар символы һәм өстәлә (чик кыйммәттәрне һәм җыелучанлыкны билгеләү өчен кулланылган киңәйтелгән санлы туры сызык ) төзелә. Символлар белән гамәлләр башкарырга мөмкин (монда — чын сан):

,
,
,
,
,
,
,
,
,

әммә кайсыбер чикләүләр белән: билгесезлек ситуациялары туганда

Чиксезлек барлыкка килүгә китергән иң соңгы аңлатма нәтиҗәсен ачыклау принцибы буенча аныксызлыкларны ачу кагыйдәләре кулланыла (мәсәлән, Лопиталь кагыйдәсе), ягъни, анализда бу мәгънәдә чикке аңлатмаларны язу өчен гомумиләштерелгән кыскарту итеп символлары кулланыла, ләкин тулы кыйммәтле объект буларак түгел (кайсыбер дидактик материалларда чын саннар белән тәртип бәйләнеше белән бәйләнмәгән бер чиксез ерак нокта кулланыла[9]). Робинсонның стандарт булмаган анализында чиксез бәләкәй һәм чиксез зур зурлыклар теоретик-модельле чараларны җәлеп итү белән актуальләшәләр, шуның белән бергә, шул аркада стандарт булмаган анализда мәгънәле чаралар һәм исбатлау ысуллары күп очракларда классик ысуллардан отышлы, һәм классик анализда да табылырга мөмкин булган, ләкин күргәзмәлек җитешмәгәнлектән күренмәгән күп кенә яңа нәтиҗәләр алынган[10].

Проектив геометрия[үзгәртү | вики-текстны үзгәртү]

ноктасы тамгаланган чын проектив туры сызык

Математикада чиксезлек турында фикерне актуальләштерүдә Понселе 1822 елда төзегән проектив геометрия мөһим роль уйный, аның төп идеяларының берсе — чиксез еракны «идеаль нокталарга» һәм «идеаль туры сызыкларга» проекциялаганда бору. Шулай, Евклид пространствосында чиксез яссылыкны проектив яссылыкка әйләндерү өчен, параллель туры сызыкларның һәр классы өчен идеаль нокта өстәргә кирәк, һәм бөтен шундый идеаль нокталар (һәм тик шулар) идеаль туры сызыкка борылалар. Бу төзүләрдә чын проектив туры сызык санлы туры сызыкның идеаль нокта белән киңәюе () булып тора. Шулай ук, анализдагы кебек, алынган чиксезлек белән проектив геометрияда гәмәлләр башкарырга мөмкин (проектив геометрияда, анализдан аермалы рәвештә, чиксезлекнең тамгасы юк, ):

,
,
,
,
,
,

шул ук вакытта аңлатмаларының мәгънәсе юк.

Комплекслы санга геометрик интерпретация биргәндә, Риман 1851 елда проектив геометрия ысулларын куллана, һәм комплекслы яссылыгы өчен проектив пространствосын — санлы проектив тура сызыкның комплекслы гомумиләштерүен төзи, ул Риман сферасы буларак билгеле: сфераның полюслары — һәм нокталары, ә стереографик проекциясе ( ноктәсы тишеп алынган) аны комплекслы яссылыкка күчерә. Чиксезлек тамга белән кулланылган чын анализдан аермалы рәвештә, комплекслы анализда чиксезлекнең туры килгән проектив формасы () кулланыла.

Күплекләр теориясе[үзгәртү | вики-текстны үзгәртү]

Математикада чиксезлек турында фикергә төп өлешне күплекләр теориясы кертә: актуаль чиксезлек һәм чиксезлекнең төрле төрләре идеясе бу теориянең зур өлөшен били. Чиксезлекнең төрле төрләрен үлчәү өчен күплекләр теориясында куәт (кардиналь сан) төшөнсәче кертелә, ул чикле күплекләр өчен элементлар саны белән туры килә, ә чиксез күплекләр өчен биекция принцибы эшли башлый: әгәр күплекләр арасында үзара-бер мәгънәле ярашлылык урнаштырып булса, алар тигез куәтле. Шулай, натураль саннар күплеге бөтен саннар күплеге (), җөп натураль саннар күплеге, бөтен рациональ саннар күплеге () белән тигез күәтле булып чыга, ә ( санлы туры сызык кисәге, континуумКалып:Переход) бөтен санлы туры сызык (), шулай ук -үлчәмле Евклид пространствосы () белән биектив ярашлылыкта булып чыга. Натураль саннар күплегенең һәм аның белән тигез күәтле күплекләрнең (исәпләү күплекләренең) күәте Калып:Переход дип, ә континуумның күәте — дип тамгалана. Алга таба, натураль саннарның бөтен аскүплекләре күплеге () һәм континуум арасында үз-ара-бер мәънәле ярашлылык бар икәне ачыклана, шулай итеп, , һәм исәпләү күплеге — бөтен чиксез күплекләрдән күәте буенча иң бәләкәе. Континуум-гипотезага ярашлы, һәм арасында ике пространствосы күәт юк (), шулай ук, Коэн 1962 елда күрсәткәнчә, континуум-гипотезаны да, аның кире кагуын да төп күплекләр теориясы аксиоматикасында исбатлап булмый. Гомумиләштерелгән континуум-гипотеза бөтен кардиналь саннар бәйләнешенә буйсыналар дип фаразлый, икенче төрле әйткәндә, бөтен мөмкин булган чиксез кардиналь саннар нәкъ натураль саннар күплегенән дәвамлы булеанлы алу куәтләрен гәүдәләндерәләр: [11].

Рәт саннарын -га кадәр күрсәтү: спиральнең һәр урамы — дәрәҗә

Күплекләр теориясы керткән чиксезлекнең икенче төре — тәртип саннары (ординаллар), алар белән бәйле трансфинитлы индукция принцибы белән беррәттән, математиклар, логиклар һәм философлар арасында зур бәхәс тудыралар. Әгәр кардиналь саннар үзара-бер мәгънәле ярашлылыкка карата эквивалентлык классын сыйфатландырсалар, тәртип саны тулысынча тәртипкә китерелгән күплекәр өстеннән тулы тәртип бәйләнешен саклаучы биектив ярашлылыкларга карата эквивалентлык классы характеристикасы буларак барлыкка килә. Чикле күплекләр өчен ординал һәм кардинал туры килә, әмма чиксез күплекләр өчен бу һәрчак алай булмый, бер тәртип санындагы бөтен күплекләр тигез куәтле, ә кире раслау гомуми очракта дөрес түгел. Ординалдар натураль рәтне чиксезлектән читтә дәвамлы дәвам итергә мөмкин булырлык итеп төзелә[12]:

,
,
,

моннан соң, бөтен чикле тәртип саннары күплеген итеп карап, тәртипкә китерелгән күплекләрне кушу (дәвамлы рәвештә беренче кушылучы, соңыннан икенче кушылучы күплек элементлары буенча аерым берекмәләр өстеннән тәртип кертепп) һәм кабатлау (тулысынча тәртипкә китерелгән күплекләрнең декарт тапкырламасы өстеннән лексикографик тәртип кулланып) операциялары базасында тәртип саннары арифметикасы кертелә, һәм процесс башлана:

,
,
,
,

Алга таба , алга таба — төзелә, аннан соң — -саннар:

.

Бөтен исәпләү ординальләр күплегенең (бөтен һәм ) куәте исәпләү күплекләр куәте -дән соң килгән -гә тигез булуы исбатланган, алга таба югарырак тәртиптәге ординальләр төзелә. Трансфинитлы индукция — гомумиләштерелгән математик индукция принцибы, тәртип саннары идеяларын кулланып, теләсә нинди тулысынча тәртипкә китерелгән күплеккә карата раслаузарны исбат итергә мөмкинлек бирә. Бурали-Форти парадоксы бөтен тәртип саннары күплеге капма-каршылыклы булуын күрсәтә, ләкин күплекләр теориясенең күп аксиомалаштыруында андый күплекләрне төзү тыелган.

Чиксез үлчәмле пространстволар[үзгәртү | вики-текстны үзгәртү]

Фракталь геометрия[үзгәртү | вики-текстны үзгәртү]

Мандельброт күплеге — чиксез үз-үзенә охшаш фрактал гәүдәләнешләрнең берсе

Билгеләнмәсе[үзгәртү | вики-текстны үзгәртү]

1655 елда Джон Валлис «Чиксезлек арифметикасы» («Arithmetica Infinitorum sive Nova Methodus Inquirendi in Curvilineorum Quadraturam, aliaque Difficiliora Matheseos Problemata») исеме астында зур хезмәтен нәшер итә, бу хезмәттә беренче тапкыр үзе үк уйлап чыгарган чиксезлек билгеләнмәсе (∞) килеп чыга.

Искәрмәләр[үзгәртү | вики-текстны үзгәртү]

  1. Калып:БСЭ3
  2. Катасонов В. Н. Непрерывность и прерывистость // Новая философская энциклопедия. — 2-е изд., испр. и дополн.. — М.: Мысль, 2010. — Т. 2. — 2816 с. — 5000 экз. — ISBN 978-5-244-01115-9.
  3. Книга IX, утверждение 20
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 Паплаускас А. Б. {{{башлык}}}(рус.) // Юшкевич А. П. (отв. редактор) Историко-математические исследования. — Наука. — Т. XVIII. — С. 104—131.
  5. Dani S. G. {{{башлык}}} // Resonance. — Т. 17. — № 3. — С. 236—246.
  6. Паплаускас А. Б. {{{башлык}}}(рус.) // Юшкевич А. П. (отв. редактор) Историко-математические исследования. — Наука. — Т. XIX. — С. 143—157.
  7. Паплаускас А. Б. {{{башлык}}}(рус.) // Юшкевич А. П. (отв. редактор) Историко-математические исследования. — Наука. — Т. XX. — С. 257—281.
  8. 8,0 8,1 Гордон, Кусраев, Кутателадзе, 2011
  9. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. — 3-е изд. перераб.. — М.: Физматлит, 2005. — Т. 1. — С. 19. — 400 с. — ISBN 5-9221-0184-6.
  10. [{{{ссылка}}} Чиксезлек] — МЭ. Драгалин А. Г. С помощью Н. а. был обнаружен ряд новых фактов. Многие классич. доказательства заметно выигрывают в наглядности при изложении их методами нестандартного анализа
  11. Иногда для бесконечных кардинальных чисел, представляющих мощность последовательного взятия булеанов от счётного множества используют бет-нотацию (от второй буквы еврейского алфавита — бет), в этих обозначениях обобщённая континуум-гипотеза формулируется как
  12. Такую схему определения предложил фон Нейман в 1920-е годы, Кантор изначально использовал другой способ

Әдәбият[үзгәртү | вики-текстны үзгәртү]

  • Н. Бурбаки. Основания математики. Логика. Теория множеств // Очерки по истории математики / И. Г. Башмакова (перевод с французского). — М: Издательство иностранной литературы, 1963. — С. 37—53. — 292 с. — (Элементы математики).
  • Виленкин Н. Я. В поисках бесконечности. — М.: Наука, 1983.
  • Гордон Е. И., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Инфинитезимальный анализ: избранные темы. — М.: Наука, 2011. — 398 с. — ISBN 978-5-02-036137-9.
  • Грасиан, Энрике. Открытие без границ. Бесконечность в математике. — М.: Де Агостини, 2014. — 144 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 18). — ISBN 978-5-9774-0713-7.
  • Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики = Routes et dédales / Перевод с французского А. А. Брядинской под редакцией И. Г. Башмаковой. — М.: Мир, 1986. — С. 394—402. — 432 с. — (Современная математика. Популярная серия). — 50 000 экз.
  • «Банкетная кампания» 1904 — Большой Иргиз. — М., 2005. — С. 413—415. — (Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов ; 2004—2017, т. 3). — ISBN 5-85270-331-1.
  • Калып:Источник/НФЭ
  • Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. — 446 с.