Энергия-импульсның тензоры Кыскача исем
ТЭИ Тасвирлаучы формула
T
μ
ν
=
−
2
det
g
δ
S
δ
g
μ
ν
=
−
2
det
g
∂
(
det
g
L
)
∂
g
μ
ν
=
−
2
∂
L
∂
g
μ
ν
+
g
μ
ν
L
{\displaystyle T_{\mu \nu }=-{\frac {2}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\delta S}{\delta g^{\mu \nu }}}=-{\frac {2}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial ({\sqrt {\det g}}{\mathcal {L}})}{\partial g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}}
Формулада символ
T
μ
ν
{\displaystyle T_{\mu \nu }}
S
{\displaystyle S}
g
{\displaystyle g}
det
g
{\displaystyle {\sqrt {\det g}}}
Нинди вики-проектка керә
Проект:Математика [d]
Энергия-импульсның тензорының контрвариант компонентлары Энергия-импульсның тензоры - матдәнең кырлары энергиясе һәм импульсы тыгызлыгын һәм агымын тасвирлаучы һәм гравитацион кыр белән тәэсир итешүне билгеләүче икенче ранглы симметрик тензор .
Махсус чагыштырмалылык теориясендә охшаш төшенчә - Энергия-импульсның 4-векторы бар.
Энергия-импульс тензорының компонентлары 4x4 симметрик чын сандагы матрица төрендә язылып була:
T
μ
ν
=
(
T
00
T
01
T
02
T
03
T
10
T
11
T
12
T
13
T
20
T
21
T
22
T
23
T
30
T
31
T
32
T
33
)
.
{\displaystyle T^{\mu \nu }\ =\ \left({\begin{matrix}T^{00}&T^{01}&T^{02}&T^{03}\\T^{10}&T^{11}&T^{12}&T^{13}\\T^{20}&T^{21}&T^{22}&T^{23}\\T^{30}&T^{31}&T^{32}&T^{33}\end{matrix}}\right).}
Бу тензорда физик зурлыклар күрсәтелгән:
T00 — энергиянең күләмдәге тыгызлыгы, гадәттә ул уңай булырга тиеш, ләкин теориядә тискәре энергия белән өлкәләр исәпкә алыналар. Мисал өчен бу өлкә Казимир эффектында булдырыла.
T01 , T02 , T03 — энергиянең агымы (Пойнтинг векторы) компонентлары яктылык тизлегенә бүленгән. Tμν симметрисе буенча : T0μ = Tμ0
3 x 3 асматрицасы тик фәзаның компонентларыннан тора:
T
i
k
=
(
T
11
T
12
T
13
T
21
T
22
T
23
T
31
T
32
T
33
)
{\displaystyle T^{ik}\ =\ \left({\begin{matrix}T^{11}&T^{12}&T^{13}\\T^{21}&T^{22}&T^{23}\\T^{31}&T^{32}&T^{33}\end{matrix}}\right)}
- бу импульсның агымы тыгызлыгының 3-үлчәмле тензоры, яки тискәре көчәнешләр тензоры.
Сыеклыкның механикасында тензорның диагональ компонентлары - басымга туры килә, ә бүтән компонентлары - тангенциаль көчләргә - көчәнешләргә туры килә, алар үзлелек белән булдырыла.
Сыеклык өчен Энергия-импульсның тензоры диагональ матрицага туры килә:
d
i
a
g
(
ρ
c
2
,
p
,
p
,
p
)
{\displaystyle ~{\rm {diag}}({{\rho }c^{2}},~p,~p,~p)}
ρ
{\displaystyle ~{\rho }}
p
{\displaystyle ~p}
Гади очракта: тузан сыман матдә өчен Энергия-импульсның тензоры болай бирелә:
T
i
k
=
ρ
u
i
u
k
{\displaystyle T^{ik}=\rho \,u^{i}u^{k}}
биредә
ρ
{\displaystyle \rho }
u
i
,
u
k
{\displaystyle u^{i},u^{k}}
Махсус чагыштырмалылык теориясендә физик кануннар фәза-вакытның барлык юнәлешләрендә бертигез булырга тиеш, шуңа күрә координатларның күчүе кануннарны үзгәртмәскә тиеш. Нөтер теоремасы буенча фәза-вакытның кечкенә күчүенә саклана торган Нөтер агымы туры килә.
Лангранжиан тыгызлыгы
L
M
=
L
M
(
ϕ
i
,
∂
μ
ϕ
i
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }={\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }(\phi _{i},\partial _{\mu }\phi _{i})}
{
x
μ
→
x
′
μ
=
x
μ
+
δ
x
μ
ϕ
i
(
x
)
→
ϕ
i
′
(
x
′
)
=
ϕ
i
(
x
)
.
{\displaystyle {\begin{cases}x^{\mu }\to x^{\prime \mu }=x^{\mu }+\delta x^{\mu }\\\phi _{i}(x)\to \phi _{i}^{\prime }(x^{\prime })=\phi _{i}(x).\end{cases}}}
Нөтер теоремасы буенча каноник Энергия-импульсның тензоры саклану кануны чыга:
T
c
μ
ν
(
x
)
=
∑
i
=
1
n
∂
L
M
∂
(
∂
μ
ϕ
i
)
∂
ν
ϕ
i
−
L
M
δ
ν
μ
,
{\displaystyle {{T_{c}}^{\mu }}_{\nu }(x)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\partial _{\nu }\phi _{i}-{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\delta _{\nu }^{\mu },}
Энергия-импульсның тензоры:
∂
μ
T
μ
ν
≡
T
ν
,
μ
μ
=
0.
{\displaystyle \partial _{\mu }{T^{\mu }}_{\nu }\equiv T_{\nu ,\;\mu }^{\mu }=0.}
Контрвариант төрендә Энергия-импульсның тензоры:
T
μ
ν
=
g
ν
ρ
T
μ
ρ
=
∑
i
=
1
n
∂
L
M
∂
(
∂
μ
ϕ
i
)
∂
ν
ϕ
i
−
L
M
g
μ
ν
.
{\displaystyle T^{\mu \nu }=g^{\nu \rho }\,{T^{\mu }}_{\rho }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\partial ^{\nu }\phi _{i}-{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }g^{\mu \nu }.}
СИ системасында электромагнит кырының энергия-импульс тензоры:
T
00
=
E
⋅
D
2
+
B
⋅
H
2
{\displaystyle T_{00}={\frac {\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} }{2}}+{\frac {\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} }{2}}}
(
T
01
T
02
T
03
)
=
(
T
10
T
20
T
30
)
=
1
c
[
E
×
H
]
{\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{01}&T_{02}&T_{03}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{10}&T_{20}&T_{30}\end{pmatrix}}={\frac {1}{c}}\left[\mathbf {E} \times \mathbf {H} \right]}
T
i
j
=
E
i
D
j
+
B
i
H
j
−
1
2
δ
i
j
(
E
⋅
D
+
B
⋅
H
)
=
E
i
D
j
+
B
i
H
j
−
δ
i
j
T
00
.
{\displaystyle T_{ij}=E_{i}D_{j}+B_{i}H_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} )=E_{i}D_{j}+B_{i}H_{j}-\delta _{ij}T_{00}.}
T
i
j
{\displaystyle T_{ij}}
тензоры
Ковариант төрендә ул болай күренә:
T
μ
ν
=
−
1
μ
0
[
F
μ
α
F
α
ν
+
1
4
η
μ
ν
F
α
β
F
α
β
]
.
{\displaystyle T^{\mu \nu }=-{\frac {1}{\mu _{0}}}[F^{\mu \alpha }F_{\alpha }{}^{\nu }+{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }]\,.}
Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 8-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2001. — 534 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-9221-0056-4 .
§ 32 — канонический ТЭИ
§ 94 — метрический ТЭИ. 
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{01}&T_{02}&T_{03}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{10}&T_{20}&T_{30}\end{pmatrix}}={\frac {1}{c}}\left[\mathbf {E} \times \mathbf {H} \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b384f51b1298020fa0f4e7903ff301bb3ce0a450)
![{\displaystyle T^{\mu \nu }=-{\frac {1}{\mu _{0}}}[F^{\mu \alpha }F_{\alpha }{}^{\nu }+{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d7c20dd511ea323b9297450f54eab63f389cc6a)