Энергия-импульсның тензоры

Энергия-импульсның тензоры
Канун яки назарияне тасвирлаучы фурмула	$T_{\mu \nu }=-{\frac {2}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\delta S}{\delta g^{\mu \nu }}}=-{\frac {2}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial ({\sqrt {\det g}}{\mathcal {L}})}{\partial g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}$

Энергия-импульсның тензорының контрвариант компонентлары

Энергия-импульсның тензоры - матдәнең кырлары энергиясе һәм импульсы тыгызлыгын һәм агымын тасвирлаучы һәм гравитацион кыр белән тәэсир итешүне билгеләүче икенче ранглы симметрик тензор.

Махсус чагыштырмалылык теориясендә охшаш төшенчә - Энергия-импульсның 4-векторы бар.

Тасвир

Энергия-импульс тензорының компонентлары 4x4 симметрик чын сандагы матрица төрендә язылып була:

$T^{\mu \nu }\ =\ \left({\begin{matrix}T^{00}&T^{01}&T^{02}&T^{03}\\T^{10}&T^{11}&T^{12}&T^{13}\\T^{20}&T^{21}&T^{22}&T^{23}\\T^{30}&T^{31}&T^{32}&T^{33}\end{matrix}}\right).$

Бу тензорда физик зурлыклар күрсәтелгән:

• T⁰⁰ — энергиянең күләмдәге тыгызлыгы, гадәттә ул уңай булырга тиеш, ләкин теориядә тискәре энергия белән өлкәләр исәпкә алыналар. Мисал өчен бу өлкә Казимир эффектында булдырыла.
  • T¹⁰, T²⁰, T³⁰ — тыгызлыкның импульсы компонентлары яктылык тизлегенә таклырланган.
• T⁰¹, T⁰², T⁰³ — энергиянең агымы (Пойнтинг векторы) компонентлары яктылык тизлегенә бүленгән. T^μν симметрисе буенча : T^0μ = T^μ0
• 3 x 3 асматрицасы тик фәзаның компонентларыннан тора:

$T^{ik}\ =\ \left({\begin{matrix}T^{11}&T^{12}&T^{13}\\T^{21}&T^{22}&T^{23}\\T^{31}&T^{32}&T^{33}\end{matrix}}\right)$

- бу импульсның агымы тыгызлыгының 3-үлчәмле тензоры, яки тискәре көчәнешләр тензоры.

Сыеклыкның механикасында тензорның диагональ компонентлары - басымга туры килә, ә бүтән компонентлары - тангенциаль көчләргә - көчәнешләргә туры килә, алар үзлелек белән булдырыла.

Сыеклык өчен Энергия-импульсның тензоры диагональ матрицага туры килә: $~{\rm {diag}}({{\rho }c^{2}},~p,~p,~p)$, биредә $~{\rho }$ массаның тыгызлыгы, а $~p$ — гидростатик басым.

• Гади очракта: тузан сыман матдә өчен Энергия-импульсның тензоры болай бирелә:

$T^{ik}=\rho \,u^{i}u^{k}$

биредә $\rho$ — тикторыш массаның тыгызлыгы, $u^{i},u^{k}$ — 4-тизлекнең компонентлары , биредә барлык кисәкчекләр бертигез тизлекләр белән хәрәкәт итәләр.

Каноник энергия-импульсның тензоры

Махсус чагыштырмалылык теориясендә физик кануннар фәза-вакытның барлык юнәлешләрендә бертигез булырга тиеш, шуңа күрә координатларның күчүе кануннарны үзгәртмәскә тиеш. Нөтер теоремасы буенча фәза-вакытның кечкенә күчүенә саклана торган Нөтер агымы туры килә.

Лангранжиан тыгызлыгы ${\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }={\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }(\phi _{i},\partial _{\mu }\phi _{i})$ кечкенә күчүләргә карата инвариант була:

${\begin{cases}x^{\mu }\to x^{\prime \mu }=x^{\mu }+\delta x^{\mu }\\\phi _{i}(x)\to \phi _{i}^{\prime }(x^{\prime })=\phi _{i}(x).\end{cases}}$

Нөтер теоремасы буенча каноник Энергия-импульсның тензоры саклану кануны чыга:

${{T_{c}}^{\mu }}_{\nu }(x)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\partial _{\nu }\phi _{i}-{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\delta _{\nu }^{\mu },$

Энергия-импульсның тензоры:

$\partial _{\mu }{T^{\mu }}_{\nu }\equiv T_{\nu ,\;\mu }^{\mu }=0.$

Контрвариант төрендә Энергия-импульсның тензоры:

$T^{\mu \nu }=g^{\nu \rho }\,{T^{\mu }}_{\rho }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\partial ^{\nu }\phi _{i}-{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }g^{\mu \nu }.$

Классик электродинамикада энергия-импульс тензоры

СИ системасында электромагнит кырының энергия-импульс тензоры:

$T_{00}={\frac {\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} }{2}}+{\frac {\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} }{2}}$

${\begin{pmatrix}T_{01}&T_{02}&T_{03}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{10}&T_{20}&T_{30}\end{pmatrix}}={\frac {1}{c}}\left[\mathbf {E} \times \mathbf {H} \right]$

$T_{ij}=E_{i}D_{j}+B_{i}H_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} )=E_{i}D_{j}+B_{i}H_{j}-\delta _{ij}T_{00}.$

$T_{ij}$ - өч үлчәмле Максвелл көчәнешләр тензоры

Ковариант төрендә ул болай күренә:

$T^{\mu \nu }=-{\frac {1}{\mu _{0}}}[F^{\mu \alpha }F_{\alpha }{}^{\nu }+{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }]\,.$

Әдәбият

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 8-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2001. — 534 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-9221-0056-4.
• § 32 — канонический ТЭИ
• § 94 — метрический ТЭИ.