Һипоциклоида

Һипоциклоида (борынгы грек теле сүзләреннән: ὑπό — астында, аста; κύκλος — түгәрәк, әйләнә) — яссылыкта кечерәк әйләнә зуррагы эчендә шуышмыйча бөтерелгәндә, кече әйләнә өстендәге нокта (билгеле бер радиусның очы) хәрәкәте аша барлыкка килгән кәкре сызык ул.

Тигезләмәләр

Кырыена яктылык диоды беркетелгән бәләкәй генә батарея һава шары эчендә бөтерелә, диод калдырган эз k=9 модульле (очлы) һипоциклоида.

Параметрик тигезләмәләр:

${\begin{cases}x=r(k-1)\left(\cos t+{\frac {\cos((k-1)t)}{k-1}}\right)\\y=r(k-1)\left(\sin t-{\frac {\sin((k-1)t)}{k-1}}\right)\end{cases}}$

биредә $\textstyle k={\frac {R}{r}}$, $R$ — хәрәкәтсез (зур) әйләнә радиусы, $r$ — бөтерелүче (кече) әйләнә радиусы.

Хәлбуки, $k$ зурлыгының модуле һипоциклоиданың формасын билгели.
Әйтик, $k=2$ булганда, һипоциклоида “Туси пары” дип аталучы сызык рәвешендә сурәтләнә, чынбарлыкта исә ул — зур әйләнәнең диаметры. $k=4$ булган очракта астроида барлыкка килә.
Әгәр $k$ модуле кыскартылмый торган ${\frac {m}{n}}$ ($m,n\in \mathbb {N}$) вакланмасы булса, $m$ — хасил булган һипоциклоиданың касплары (очлары) саны, ә $n$ — бөтерелүче әйләнмәнең һипоциклоиданы тулысынча сызып бетерү өчен кирәк булган әйләнешләре саны. Һәм $k$ модуле иррациональ сан булса, барлыкка килә торган кәкре сызыкның очы очка беркайчан да ялганмый, аның касплары саны иксез-чиксезлеккә омтыла.
Һипоциклоида — “һипотрохоида” дип аталган кәкре сызыкларның аерым бер очрагы. Башка һипотрохоидалар барлыкка килгәндә, “сызучы” нокта кече әйләнәнең эчендә дә (радиусның урта бер өлешенә), тышында да (радиусның дәвамына) урнаштырыла.

Һипоциклоида үрнәкләре

$k=3$ — Дельтоида $k=1.5={\frac {3}{2}}$ $k=4$ — Астроида $k={\frac {4}{3}}$ $k=5$ $k=6$ $k=5.5={\frac {11}{2}}$ $k={\frac {5}{3}}$ $k=3.6={\frac {18}{5}}$