Lagranjian

Lagranjian yäki Lagranj funktsiäse ${\mathcal {L}}[\varphi _{i}]$ — dinamik sistemanıñ üzgäreşlären taswirlawçı ğomumiläşterelgän koordinatlarğa bäyle funktsiä.

Klassik mexanika öçen xäräkät tigezlämäläre iñ keçkenä tä'sirneñ mäslägennän çığarılalar:

${\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi _{i}}}=0$

biredä tä'sir - funktsional:

${\mathcal {S}}[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(s)]{}\,d^{n}s},$

$\varphi _{i}$ — ğomumiläşterelgän koordinatlar (kisäkçeklär koordinatları yäki qırnıñ üzgärmä zurlıqları), $\ s_{j}$ - sistemanıñ parametrları küplege, klassik mexanika oçrağında - bäysez fäzanıñ koordinatları häm waqıt.

Jozef Lui Lagranj xörmätenä atalğan.

Lejandr üzgärtüläre yärdämendä Lagranjian Hamiltonian belän bäylänä, Hamiltonian nigezendä Haminton mexanikası icat itelgän.

Misallar

Klassik mexanika

Klassik mexanikada Lagranjian kinetik häm potentsial' energiälär ayırmasına tigez:

${\mathcal {L}}=T-V$

biredä T — kinetik energiä, V — potentsial' energiä, yäğni:

${\mathcal {L}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}m{\dot {\vec {x}}}^{2}-V({\vec {x}}),$

biredä ${\dot {\vec {x}}}$ - waqıt buyınça çığarılma

${\vec {x}}$ — radius-vektor

V — potentsial' energiä

Bu alım Nyuton ısulına tigez: ägär köç öçen ${\vec {F}}=-\nabla V(x)$ yazsaq, şunnan çığarabız:

${\vec {F}}=m{\ddot {\vec {x}}}$

${\vec {F}}=d{\vec {p}}/dt$

Bu näq Nyuton tigezlämäläre

Öç ülçämle sistema öçen sferik koordinatlarda r, θ, φ:

${\mathcal {L}}={\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})-V(r)$

Eyler-Lagranj tigezlämäläre:

$m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})+V'=0,$

${\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\varphi }}^{2}=0,$

${\frac {d}{dt}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }})=0.$

Relätivistik Lagranjian

Relätivistik (tiz) irekle kisäkçekneñ klassik (kvant tügel, spinsız) Lagranjianı:

$-mc^{2}d\tau /dt=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}},$

biredä v — kisäkçekneñ tizlege , c — yaqtılıq tizlege

Bu Lagranjiannan relätivistik kisäkçeklärneñ klassik dinamikası çığarıla.

Qırnıñ teoriäsendä Lagranjian

Qırnıñ teoriäsendä Lagranj funktsiase L häm Lagranjian töşençäläre ayırıla:

• Lagranj funktsiase: tä'sir tik waqıt buyınça integralğa tigez:

$S=\int {{\mathcal {L}}\,dt}$

• Lagranjian: tä'sir böten 4-ülçämle fäza (fäza-waqıt) buyınça integralğa tigez:

$S[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(x)]\,d^{4}x}$

Şuña kürä Lagranjian - Lagranjiannıñ tığızlığı buyınça integralğa tigez.

Zamança teoriälärdä yış qına Lagranjiannıñ tığızlığın Lagranjian dip yörtälär.

Elektromagnitik Lagranjian

Elektrostatika

Klassik mexanikada Lagranjian:

${\mathcal {L}}=T-V$

skalär potentsial $\phi \$ öçen kinetik energiä:

$T_{s}={1 \over 2}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v}$

Tä'sirläşü energiä :

$V=q\phi \$ yäki $V=\int \rho \phi \ dxdydz$

Kinetik energiä:

$T_{f}=\int {1 \over 2\varkappa }(\nabla \phi )^{2}dxdydz,$

biredä $\varkappa$ - köç daimie

Şunnan Lagranjian:

${\mathcal {L}}=T_{f}-V+T_{s},$

Tä'sirdän variatsiä alıp, xäräkät tigezlämäse çığarıla, ul Puasson tigezlämäsenä tigez:

$m{\dot {\mathbf {v} }}=-q\nabla \phi .$

Elektrodinamika

Öç ülçämle taswir

Elektrodinamikada tä'sirläşü energiäse tizleklärgä bäyle inde:

$V=q\phi -{q \over c}\mathbf {v} \cdot \mathbf {A}$

yäki

$V=\int (\rho \phi -{1 \over c}\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} )dxdydz$

biredä j — ağım tığızlığı vektorı

Elekromagnit qırınıñ energiäsenä magnit qırı energiäse dä kerä:

$T_{f}=\int {\frac {1}{2\varkappa }}(E^{2}-H^{2})dxdydz,$

• $\phi$ : skalär potentsial
• А : vektor potentsialı

$\mathbf {E} =-\nabla \phi -{1 \over c}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},~~~~~~~\mathbf {H} =\mathbf {rot} \mathbf {A}$.

Yäğni Elektromagnitik Lagranjian:

$L=T_{f}-q\phi +{q \over c}\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} +T_{s}.$

yäki

$L=T_{f}+\int (-\rho \phi +{1 \over c}\mathbf {j} \ \cdot \mathbf {A} )dxdydz+T_{s}.$

tiz kisäkçeklär öçen:

$T_{s}=-mc^{2}d\tau /dt=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$

Tä'sirdän ф , $A_{x},A_{y},A_{z}$ buyınça variatsiä alıp näq Makswell tigezlämäläre çığarılalar.

Dürt ülçämle taswir

Dürt ülçämle taswirda Elektromagnitik Lagranjian (с=1):

$L={\frac {1}{4\varkappa }}F_{ik}F^{ik}+A_{i}j^{i}+L_{s}.$

İkençe äğza tä'sirläşüne taswirlıy, aña tä'sir turı kilä:

$S_{int}=-\int qA_{i}dx^{i}.$

$F^{ik}$ — Elektromagnitik qırnıñ tenzorı, Lagranjianda anıñ törelüe - kvadrat

$A_{i}$ — 4-potentsial,

$j^{i}$ — 4-ağım tığızlığı,

$dx^{i}$ — 4-vektor;

Härqayda Eynşteyn kileşüe ütälä

Tä'sirdän $A_{i}$ buyınça variatsiä alıp, näq Makswell tigezlämäläre çığarılalar:

$\partial _{i}F^{ik}=\varkappa j^{k}$,

Tä'sirdän $x^{i}$ buyınça variatsiä alıp, xäräkät tigezlämäse çığarıla:

$dp_{i}/d\tau =qF_{ik}u^{k},\$

biredä $p_{i}=mu_{i}$ — 4-impuls, $u^{k}$ — 4-tizlek.

Kvant qırnıñ teoriäse

Kvant elektrodinamikası Lagranjianı

Kvant elektrodinamikası Lagranjianı tığızlığı:

${\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\not \!\,D-m)\psi -{1 \over 4}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$

biredä $\psi$ — spinor,

${\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ — Dirak iäreşle spinorı,

$\!F^{\mu \nu }$ — Elektromagnitik qırnıñ tenzorı,

$D_{\mu }\equiv \partial _{\mu }+ieA_{\mu }+ieB_{\mu }\,\!$ — kalibrlaw kovariant çığarılması,

$\not \!\,D$ — $\!\gamma ^{\sigma }D_{\sigma }$ öçen Feynman bilgese

yäki

${\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$

$\gamma ^{\mu }$ - Dirak matritsaları

Kvant xromodinamikası

Köçle tä'sir iteşü öçen Lagranjianı tığızlığı:

${\mathcal {L}}=-{1 \over 4}F^{\alpha }{}_{\mu \nu }F_{\alpha }{}^{\mu \nu }-\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}(\not \!\,D_{\mu }+m_{n})\psi _{n}$

biredä $\!D_{\mu }$ — KXD kalibrlaw kovariant çığarılması,

$\!F^{\alpha }{}_{\mu \nu }$ — gluon qırnıñ köçäneşlelär tenzorı

Sıltamalar

• Ж. Лагранж. Аналитическая механика. — М. - Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. — 594 с.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Механика. — Издание 5-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2004. — 224 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-9221-0055-6.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля (Теоретическая физика, т. II). — М.: Физматлит, 2003. — 536 с. — ISBN 5-9221-0056-4.