Дирак тигезләмәсе: юрамалар арасында аерма

Wikipedia — ирекле энциклопедия проектыннан ([http://tt.wikipedia.org.ttcysuttlart1999.aylandirow.tmf.org.ru/wiki/Дирак тигезләмәсе latin yazuında])
Контент бетерелгән Контент өстәлгән
Kitap (бәхәс | кертем)
Төзәтмә аңлатмасы юк
Kitap (бәхәс | кертем)
Юл номеры - 75: Юл номеры - 75:


: <math>\partial_\mu \rightarrow D_\mu = \partial_\mu - i e A_\mu. </math>
: <math>\partial_\mu \rightarrow D_\mu = \partial_\mu - i e A_\mu. </math>

==Дирак тигезләмәсен чыгару==

Дирак тигезләмәсе — [[Шрөдингер тигезләмәсе]]нең гомумиләштерүе:

: <math> H \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {d\over d t} \left| \psi (t) \right\rangle.</math>

яки

: <math> H \psi (\mathbf{x},t) = i \hbar \frac{\partial\psi(\mathbf{x},t)}{\partial t} , </math>

биредә [[гамильтониан (квант механикасы)|гамильтониан]] ''H'' дулкынча функциягә тәэсир итә.

Релятивистик булмаган ирекле электрон өчен гамильтониан классик механикада кебек кинетик энергия белән билгеләнә:

: <math> H = \sum_{j=1}^3 \frac{p_j^2}{2m}, </math>

биредә ''p<sub>j</sub>'' — импульс проекцияләре операторлары, һәр оператор фәзадан чыгарылма кебек тәэсир итә:

: <math>p_j \psi(\mathbf{x},t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - i \hbar \, \frac{\partial\psi (\mathbf{x},t)}{\partial x_j}.</math>

Ләкин релятивистик кисәкчек өчен гамильтониан башкача тасвирлана. Релятивистик нисбәт буенча системаның гомуми энергиясе болай тасвирлана ([[Махсус чагыштырмалылык теориясе]]):

: <math>E = \sqrt{(mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2}.</math>

Шуннан:

: <math> \sqrt{(mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2} \ \psi = i \hbar \frac{d\psi}{d t}. </math>

Ләкин әлеге тигезләмә дә кайбер фундаменталь релятивистик мәскәкләргә туры килми: анда Лоренц ковариантлыгы юк - ягъни [[вакыт]] һәм [[фәза]] бу тигезләмәдә "тиң хокуклы" булмый, ә шушы мәсләк - [[Махсус чагыштырмалылык теориясе]]нең нигезе булып тора.

Әгәр тигезләмәнең уң өлешендә вакыттан беренче чыгарылма бар икән, димәк сул өлешендә фәза координатларыннан тик беренче чыгарылма (импульс беренче дәрәҗәдә) булырга тиеш. Дирак шуны исәпкә алып, беренче чырарылмалар алдыннан махсус даими коэффицинтлар кертеп, тигезләмәне чыгарган:

::{|cellpadding="2" style="border:2px solid #ccccff"
|<math>i\hbar \frac{d\psi}{dt} = \left[ c \sum_{i=1}^3 \alpha_i p_i + \alpha_0 mc^2 \right] \psi</math>
|}

— ирекле кисәкчек өчен Дирак тигезләмәсе.

Дирак тәкъдиме буенча:

: <math> (mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2 </math>

ягъни

: <math> \left( mc^2 \alpha_0 + c \sum_{j=1}^3 \alpha_j p_j \,\right)^2
= (mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2. </math>

Шуннан:

: <math>
\alpha_i \alpha_j + \alpha_j \alpha_i = 0\,,</math> для всех <math> i,j = 0, 1, 2, 3 (i \ne j),
</math>
: <math>
\alpha_i^2 = 1\,,</math> для всех <math> i = 0, 1, 2, 3.\
</math>

бергә язап::

: <math> \alpha_i \alpha_j + \alpha_j \alpha_i = 2 \delta_{ij}\ </math> для <math>\ i,j = 0, 1, 2, 3, </math>

антикоммутатор ярдәмендә болай языла:

: <math>
\left\{\alpha_i , \alpha_j\right\} = 2\delta_{ij}\ </math> для <math>\ i,j = 0, 1, 2, 3.
</math>

биредә {,} — [[антикоммутатор]
*''δ''<sub>ij</sub> — [[Кронекер символы]]

α —сызыкча операторлар яки матрицалар.

Дулкынча функцияләр дүрт компонентлы булып чыга.

: <math>\alpha_0 = \begin{bmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{bmatrix} \quad \alpha_j = \begin{bmatrix} 0 & \sigma_j \\ \sigma_j & 0 \end{bmatrix} </math>

биредә ''0'' и ''I'' — 2×2 нуль и берәмлекле матрицалар
* σ<sub>''j''</sub> (''j'' = 1, 2, 3) — [[Паули матрицалары]]

Гамильтониан тигезләмәдә:

: <math> H = \,mc^2 \alpha_0 + c \sum_{j = 1}^3 \alpha_j p_j</math>

'''Дирак гамильтонианы''' дип атала.


== Моны да карагыз ==
== Моны да карагыз ==

26 окт 2016, 18:27 юрамасы

⚙️  Квант механикасы

Билгесезлек принцибы

Математик нигезләр
Шулай ук карагыз: Портал:Физика

Дирак тигезләмәсеэлектрон һәм бүтән фермион кырлары өчен релятивистик-инвариант хәрәкәт тигезләмәсе.

Квант механикасында Шрөдингер тигезләмәсенең спинлы һәм релятивистик гомумиләштерүе.

Квант механикасында

Тасвир

Дирак тигезләмәсе болай күренә:

биредә

  •  — электрон (яки бүтән фермион) массасы,
  •  — яктылык тизлеге,
  •  — импульс операторының өч компоненты (x, y, z буенча),
  • ,  — Планк даимие,
  •  — дурт компонентлы комплекс дулкынча функция (биспинор).

 — биспинор фәзасы өстеннән сызыкча операторлар, алар дулкынча функциягә тәэсир итәләр (Паули матрицалары). Әлеге операторлар антикомммуталаша:

, биредә һәм 0 - 3,
0 - 3 өчен.

Әлеге операторлар 4×4 зурлыгы матрицалары булып тора, алар Дирак матрицалары дип атала.

Реятивистик ковариант күренеше

Ирекле кисәкчек өчен Дирак тигезләмәсенең ковариант формасы болай күренә:

яки Эйнштейн килешүе кулланып болай бирелә:

Әлеге тигезләмәне чыгару:

Импульс операторы

Дирак тигезләмәсен α0 га тапкырлап ( α0²=I) чыгарабыз:

шуннан Дирак матрицалары билгеләнә:

Аларның үзлекләре:

Әлеге нисбәтләр Дирак алгебрасы дип атала..

Дирак тигезләмәсен 4-вектор x = (ct,x) ярдәмендә язап була:

Әлеге тигезләмәне шулай ук Тәэсирнең экстремумы ярдәмендә чыгарып була:

биредә

- Дирак иярешле матрицасы дип атала. Ул кырның квант теориясендә киң кулланыла.

Әлеге формада өлешчә чыгарылманы киңәйтеп электромагнит тәэсир итешүе өстәлә:

Дирак тигезләмәсен чыгару

Дирак тигезләмәсе — Шрөдингер тигезләмәсенең гомумиләштерүе:

яки

биредә гамильтониан H дулкынча функциягә тәэсир итә.

Релятивистик булмаган ирекле электрон өчен гамильтониан классик механикада кебек кинетик энергия белән билгеләнә:

биредә pj — импульс проекцияләре операторлары, һәр оператор фәзадан чыгарылма кебек тәэсир итә:

Ләкин релятивистик кисәкчек өчен гамильтониан башкача тасвирлана. Релятивистик нисбәт буенча системаның гомуми энергиясе болай тасвирлана (Махсус чагыштырмалылык теориясе):

Шуннан:

Ләкин әлеге тигезләмә дә кайбер фундаменталь релятивистик мәскәкләргә туры килми: анда Лоренц ковариантлыгы юк - ягъни вакыт һәм фәза бу тигезләмәдә "тиң хокуклы" булмый, ә шушы мәсләк - Махсус чагыштырмалылык теориясенең нигезе булып тора.

Әгәр тигезләмәнең уң өлешендә вакыттан беренче чыгарылма бар икән, димәк сул өлешендә фәза координатларыннан тик беренче чыгарылма (импульс беренче дәрәҗәдә) булырга тиеш. Дирак шуны исәпкә алып, беренче чырарылмалар алдыннан махсус даими коэффицинтлар кертеп, тигезләмәне чыгарган:

— ирекле кисәкчек өчен Дирак тигезләмәсе.

Дирак тәкъдиме буенча:

ягъни

Шуннан:

для всех
для всех

бергә язап::

для

антикоммутатор ярдәмендә болай языла:

для

биредә {,} — [[антикоммутатор]

α —сызыкча операторлар яки матрицалар.

Дулкынча функцияләр дүрт компонентлы булып чыга.

биредә 0 и I — 2×2 нуль и берәмлекле матрицалар

Гамильтониан тигезләмәдә:

Дирак гамильтонианы дип атала.

Моны да карагыз

Әдәбият

  • Бьёркен Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория. — М.: Наука, 1978. — Т. 1. — 296 с.
  • Дайсон Ф. Релятивистская квантовая механика. — Ижевск: РХД, 2009. — 248 с.
  • Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — 440 с.
  • Дирак П. А. М. Релятивистское волновое уравнение электрона (рус.) // Успехи физических наук. — 1979. — Т. 129, вып. 4. — С. 681-691.
  • Зи Э. Квантовая теория поля в двух словах. — Ижевск: РХД, 2009. — 632 с.
  • Пескин М., Шрёдер Д. Введение в квантовую теорию поля. — Ижевск: РХД, 2001. — 784 с.
  • Шифф Л. Квантовая механика. — М.: ИЛ, 1959. — 476 с.

Shankar R. Principles of Quantum Mechanics. — Plenum, 1994.

  • Thaller B. The Dirac Equation. — Springer, 1992.