Магнитогидродинамика

Wikipedia — ирекле энциклопедия проектыннан
Моңа күчү: навигация, эзләү

Магнитогидродинамика — гидродинамика һәм тоташ тирәлекләр электродинамикасы кисешкән урында барлыкка килгән физик дисциплина. Аның тикшерү обьекты булып магнит кырындагы үткәрүче сыеклык (газ) динамикасы тора. Мондый тирәлекләрнең мисаллары: төрле төрдәге плазма, сыек металлар, тозлы су. Магнитогидродинамиканың беренче тикшеренүчесе дип, бу хезмәтләре өчен 1970 елда нобель премиясенә лаек булган, Ханнес Альфвен таныла.

Магнит гидродинамикасы тигезләмәләре[үзгәртү]

Үткәрүче сыеклыкның релятивистик булмаган магнит гидродинамикасы тигезләмәләренең тулы системасы түбәндәгечә языла:


\begin{cases}
\rho\frac{\partial \vec v}{\partial t} + \rho (\vec v, \nabla) \vec v =- \nabla  p - \frac{1}{4\pi}[\vec H \operatorname{rot} \vec H] + \eta \Delta \vec v + \left(\frac 13 \eta + \zeta\right)\nabla \operatorname{div}\vec v \\
p=p(\rho) \\
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div} \rho \vec v=0 \\

\frac{\partial \vec H}{\partial t} = - \frac {1}{\sigma} \frac{c^2}{4\pi} \operatorname{rot} \left[\nabla \times \vec H\right] +   \operatorname{rot} \left[\vec v \times \vec H\right] \\
\nabla \cdot \vec H = 0

\end{cases}

Монда \ p — тирәлектәге басым, \ \rho — тыгызлык, \sigma — сыеклыкның үткәрүчәнлеге, \eta — күчешле (сдвиговая) үзлелек, \zeta  — икенче үзлелек (күләм үзлелеге) а \vec v — аның элементларының тизлекләре кыры. \vec H — магнит кыры көчәнешлелеге.

Бу система 8 тигезләмәне үз эченә ала һәм, башлангыч һәм чик шартлар бирелгән булса, \ p, \rho, \vec H, \vec v 8 билгесезне табарга мөмкинлек бирә.

Әгәр дә түбәндәге китерешләрне куллансак(диссипативсыз чик):

  1. \sigma \to \infty
  2. \eta = 0 ,\quad \zeta =0 , МГД тигезләмәләр системасы гадирәк төрдә языла:

\begin{cases}
\rho\frac{\partial \vec v}{\partial t} + \rho (\vec v, \nabla) \vec v =- \nabla  p - \frac{1}{4\pi}[\vec H \operatorname{rot} \vec H] \\
p=p(\rho) \\
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div} \rho \vec v=0 \\

\frac{\partial \vec H}{\partial t} = \operatorname{rot} \left[\vec v \times \vec H\right] \\
\nabla \cdot \vec H = 0

\end{cases}

Кушымталар[үзгәртү]

Максвелл тигезләмәләреннән МГД тигезләмәләрен чыгару[үзгәртү]

Максвелл тигезләмәләре системасын СГС системасында языйк.


\begin{cases}
\nabla \times \vec E = - \frac 1c \frac{\partial \vec H}{\partial t} \\
\nabla \times \vec H = \frac 1c \frac{\partial \vec E}{\partial t} + \frac {4 \pi}{c} \vec j\\
\nabla \cdot \vec H = 0\\
\nabla \cdot \vec E = 0
\end{cases}

Түбәндәге чамалаулардан чыгып эш итәбез:

  1. Магнит үткәрүчәнлеге  \mu=1
  2. Электр корылмалары юк  \rho = 0
  3. Ом законы:  \vec j = \sigma \vec E + \frac {\sigma}{c} \vec v \times \vec H

Релятивистик булмаган очрак ( v \ll c ) белән генә икләнербез, ягъни  \left| \nabla \times \vec H  \right| \gg \left| \frac 1c \vec E  \right|

Бу китерүдә Максвелл тигезләмәләре түбәндәгечә языла:


\begin{cases}
\nabla \times \vec E = - \frac 1c \frac{\partial \vec H}{\partial t} \\
\nabla \times \vec H = \frac {4 \pi}{c} \vec j\\
\end{cases}

\vec E ны Ом законы аша күрсәтеп, беренче тигезләмәгә куябыз:

- \frac 1c \frac{\partial \vec H}{\partial t} = \nabla \times \left(\frac {1}{\sigma} \vec j - \frac 1c \vec v \times \vec H\right)

Бу тигезләмәгә Максвеллның икенче тигезләмәсеннән токны куябыз һәм табабыз:

- \frac 1c \frac{\partial \vec H}{\partial t} = \frac {1}{\sigma} \frac{c}{4\pi} \nabla \times \left[\nabla \times \vec H\right] - \frac 1c  \nabla \times \left[\vec v \times \vec H\right]

Идеаль үткәрүче сыеклыкның чигендә  \sigma \to \infty  табабыз:

 \frac{\partial \vec H}{\partial t} = \nabla \times \left[\vec v \times \vec H\right]

Гидродинамика белән бәйләнеш өчен, Навье — Стокс тигезләмәсенә, магнит кыры тарафыннан токларга тәэсир итүче Ампер көче өчен җаваплы, әгъза кертәләр(ток Максвеллның икенче тигезләмәсеннән, магнит кыры көчәнешлелеге аша чыгарыла):

\vec f = \frac 1c \left[ \vec j \times \vec H \right] = - \frac{1}{4 \pi} \left[ \vec H\times \operatorname{rot}\vec H \right]


Моны да карагыз[үзгәртү]