Геометрик прогрессия

Геометрик прогрессия — $b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ \ldots$ саннарының (прогрессия әгъзалары) эзлеклелеге, прогрессиянең һәр киләсе әгъзасы элекке әгъзасы һәм билгеләнгән сан $q\quad$ (прогрессия ваклаучысы) тапкырчыгышына тигез: $b_{1}\not =0$, $q\not =0$: $b_{1},\ b_{2}=b_{1}q,\ b_{3}=b_{2}q,\ \ldots ,\ b_{n}=b_{n-1}q$

Тасвир

Геометрик прогрессиянең һәр әгъзасы түбәндәге тигезләмәдә исәпләнә:

$b_{n}=b_{1}q^{n-1}\quad$

• $b_{1}>0$ һәм $q>1$ булган очракта прогрессия артучы эзлеклелек дип атала
• $0<q<1$ булган очракта прогрессия кимүче эзлеклелек дип атала
• $q<0$ булган очракта прогрессия алмаш тамгалы эзлеклелек дип атала

Прогрессия геометрик дип йөртелә, чөнки аның төп үзлеге:

$|b_{n}|={\sqrt {b_{n-1}b_{n+1}}},$

ягъни һәр әгъзасы аның күршеләренең уртача геометрик зурлыгына тигез.

Үзлекләре

• Геометрик прогрессия әгъзаларыннан логарифмнар арифметик прогрессияне төзи.
• $b_{n}^{2}=b_{n-i}b_{n+i}$, $1<i<n$ өчен

• тапкырчыгышлар:

  $P_{n}=(b_{1}\cdot b_{n})^{\frac {n}{2}}$.

  $P_{k,n}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}$.

• Геометрик прогрессиянең $n$ әгъзалары суммасы:

$S_{n}={\begin{cases}\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}={\frac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q}}={\frac {b_{1}(1-q^{n})}{1-q}},&{\mbox{if }}q\neq 1\\\\nb_{1},&{\mbox{if }}q=1\end{cases}}$

• Әгәр $\left|q\right|<1$ булса: $n\to +\infty$ өчен $b_{n}\to 0$

һәм

• $n\to +\infty$ өчен $S_{n}\to {b_{1} \over 1-q}$

Әдәбият

• Геометрическая прогрессия на mathematics.ru
• Геометрическая прогрессия — статья из Большой советской энциклопедии (3-е издание).
• Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Mathesis, 1923.