Ньютон-Лейбниц формуласы

Ньютон-Лейбниц формуласы (анимация)

Ньютон-Лейбниц формуласы яки анализның төп теоремасы ике операция арасында нисбәт бирә: Риман интегралын алу һәм алынманы исәпләү.

Әгәр $\textstyle f(x)$ $\left[a,b\right]$ кисемтәсендә өзлексез функция һәм $\textstyle \Phi (x)$ — аның бу кисемтәдә теләсә нинди алынмасы булса, ул чакта түбәндәге тигезлек дөрес

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)={\Bigg .}\Phi (x){\Bigg |}_{a}^{b}$

Исбатлау

$\left[a,b\right]$ кисемтәсендә $\textstyle f$ интеграл алынган функция бирелсен. $\textstyle x\in \left[a,b\right]$ башлангыч мәгънәсен бирик һәм яңа $\textstyle F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt$ функциясен билгелик. Ул барлык $\textstyle x\in \left[a,b\right]$ мәгънәләре өчен билгеләнгән, чөнки без $\textstyle f$ на $\left[a,b\right]$-да , $\textstyle f$ -тан интеграл булса, $\left[a,x\right]$-да $\textstyle f$-тан шулай ук интеграл булганын беләбез, биредә $a\leqslant x\leqslant b$. Билгеләмә буенча $F(a)=\int \limits _{a}^{a}f(t)\,dt=0$ (1) дип саныйбыз икәнен искәртәбез. $F(b)=\int \limits _{a}^{b}f(t)\,dt$ икәнен билгеләп узыйк. $\textstyle F$ $\left[a,b\right]$ кисемтәсендә өзлексез икәнен күрсәтик. Чынлап та $x,x+h\in \left[a,b\right]$ булсын; шул чакта $F(x+h)-F(x)=\int \limits _{a}^{(x+h)}f(t)\,dt-\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt=\int \limits _{x}^{(x+h)}f(t)\,dt$ Һәм әгәр $K=sup|f(t)|,a\leqslant t\leqslant b$, шул чакта $|F(x+h)-F(x)|\leqslant {\bigg |}\int \limits _{x}^{(x+h)}f(t)\,dt{\bigg |}\leqslant K|h|\to 0,h\to 0$ Шулай итеп, $\textstyle F$ $\left[a,b\right]$-да $\textstyle f$ өзелүләре булса да, булмаса да, өзлексез була; $\textstyle f$ $\left[a,b\right]$-да интеграл алынуы әһәмиятле. Файл:График.JPG Рәсемдә $\textstyle f$ графигы сурәтләнгән. $\textstyle aABx$ үзгәрүчән фигурасының мәйданы $\textstyle F(x)$-га тигез. Аның артуы $\textstyle F(x+h)-F(x)$ $\textstyle xBC(x+h)$ фигурасының мәйданына тигез, ул $\textstyle f$ чикле булуына күрә, ачык күренгәнчә $\textstyle x$ өзлегүсезме, әллә өзлегү ноктасы булудан, $\textstyle f$, мәсәлән, $\textstyle x-d$ ноктасы булудан карамастан $h\to 0$ булганда нульгә омтыла. Хәзер $\textstyle f$ функциясе $\left[a,x\right]$-да интеграл алына торган гына түгел, ә $x\in \left[a,x\right]$ ноктасында өзлексез булсын. $\textstyle F$ бу ноктада $\textstyle F'(x)=f(x)$ (2)-га тигез чыгарылмага ия икәнен исбатлыйк. Чынлап та күрсәтелгән нокта өчен $\textstyle x$ ${\dfrac {F(x+h)-F(x)}{h}}={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{x+h}f(t)\,dt={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{x+h}(f(x)+\eta (t))\,dt$ $={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{x+h}f(x)\,dt+{\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{x+h}\eta (t)\,dt=f(x)+o$ (1) ,$h\to 0$ (3) $\textstyle f(t)=f(x)+\eta (t)$ дип алдык, ә $\textstyle f(x)$ постоянная относительно $\textstyle t$-га караганда даими булганга күрә, $\textstyle \int \limits _{x}^{x+h}f(x)\,dt=f(x)h$ була. Дәвам итеп, $\textstyle f$-нең $\textstyle x$ ноктасында өзлексезлегенә күрә, теләсә нинди $\textstyle \varepsilon >0$ өчен шундый $\textstyle \delta$-ны күрсәтеп була ки, $\textstyle |x-t|<\delta$ өчен $\textstyle |\eta (t)|<\varepsilon$ була. Шуңа күрә $\left|{\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{x+h}\eta (t)\,dt\right|\leqslant {\dfrac {1}{|h|}}|h|\varepsilon =\varepsilon ,|h|<\delta$ Бу $\textstyle h\to 0$ булганда бу тигезсезлекнең сул ягы о(1) икәнен исбатлый. $\textstyle h\to 0$-да (3) чикләмәсенә күчү $\textstyle F$ в точке $\textstyle x$ ноктасында $\textstyle F$-тан чыгарылма булуын һәм (2) тигезлеген күрсәтә. $\textstyle x=a,b$-да сүз тәңгәл килгән рәвештә уң һәм сул чыгарылма турында бара. Әгәр $\textstyle f$ функциясе $\left[a,b\right]$-да өзлексез булса, өстәрәк исбатланган нигезендә аңа тәңгәл килә торган функция $F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt$ (4) $\textstyle f(x):F'(x)=f(x),a\leqslant x\leqslant b$-га тигез чыгарылмага ия. Димәк, функция $\textstyle F(x)$ функциясе $\left[a,b\right]$-да $\textstyle f$ өчен чыгарылма булып тора. Бу нәтиҗә кайвакыт үзгәрүчән өске чикләмә белән интеграл турында теорема яки Барроу теоремасы дип атала. Без $\left[a,b\right]$ кисемтәсендә теләсә нинди алынган функция $\textstyle f$ бу кисемтәдә (4) тигезлеге белән билгеләнгән чыгарылмага ия икәнен исбатладык. Моның белән кисемтәдә теләсә нинди өзлексез функция өчен чыгарылма булуы исбатланды. Хәзер $\textstyle \Phi$ $\left[a,b\right]$-да $\textstyle f(x)$ функциясенең теләсә нинди алынган чыгарылмасы булсын. Без $\textstyle \Phi (x)=F(x)+C$ икәнен беләбез, биредә $\textstyle C$ — ниндидер даими. Бу тигезлектә $\textstyle x=a$ дип алып һәм $\textstyle F(a)=0$ исәпкә алып, $\textstyle \Phi (a)=C$ дигән нәтиҗәгә киләбез. Шулай итеп, $\textstyle F(x)=\Phi (x)-\Phi (a)$. Әмма $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)$ Шуңа күрә $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)=\Phi (x){\bigg |}{\begin{matrix}x=a\\\\x=b\end{matrix}}$

Тарихы

Математик анализ барлыкка килгәнгә кадәр үк бу теорема (геометрик яки механик формулировкада) Грегори һәм Барроуга билгеле була. Мәсәлән, Барроу бу фактны 1670 елда квадратура һәм тиючеләрне үткәреү мәсьәләләре арасында бәйләнеш итеп тасвирлый.
Ньютон теореманы сүз белән шулай әйтеп бирә: «Абсциссаның ниндидер өлөшенә теркәлгән мәйданның тиешле кыйммәтен табу өчен, бу мәйданны һәр чак z [алынманың], мәйданның башы һәм азагы белән чикләнгән абсциссаның ярашлы өлешләрендәге кыйммәтләренең аермасына тигез итеп алырга кирәк». Лейбницта та бу формуланың хәзерге күренештә язылышы юк, чөнки анык интегралның тамгаланышы күпкә соң барлыкка килә, XIX гасыр башында Фурье кертә.
Хәзерге формулировканы Лакруа XIX гасыр башында китерә.

Лебег интегралы

$F(x):=C+\int \limits _{a}^{x}f(t)dt$ функциясе $f(x)$ суммаланучы функциясенең аныксыз интегралы булып тора. $F(x)$ функциясе абсолют өзлексез була.
(Лебег теоремасы): $f(x)$ $[a,b]$ кисемтәсендә абсолют өзлексез шул чакта һәм тик шул чакта гына, әгәр $[a,b]$ кисемтәсендә шундый интегралланучы $g$ функциясе булса, монда $f(x)=f(a)+\int \limits _{a}^{x}g(t)dt$ $\forall x\in [a,b]$.
Бу теореманан, әгәр $f$ $[a,b]$ кисемтәсендә абсолют өзлексез булса, аның чыгарылмасы һәр җирдә диярлек бар, интегралланучы һәм түбәндәге тигезлекне кәнәгатьләндерә икәне килеп чыга:

$f(x)=f(a)+\int \limits _{a}^{x}f'(t)dt$, $x\in [a,b]$.

Кайсы бер нәтиҗәләре

Бу теореманың нәтиҗәсе сыйфатында үзгәрүчәннәрне алмаштыру формуласын, шулай ук монотон функцияларне Лебег таркатуы турында теореманы әйтергә була.

Өлөшләре буенча интеграллау

$f$ һәм $g$ — $[a,b]$ кисемтәсендә абсолют өзлексез функцияләр икән, ди. Ул чакта:

$\int \limits _{a}^{b}f'(x)g(x)dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int \limits _{a}^{b}f(x)g'(x)dx$.

Формула анализның төп теоремасынан һәм Лейбниц кагыйдәсеннән шунда ук килеп чыга.

Вариацияләр һәм гомумиләштерүләр

• Стокс теоремасы
  
• Гриндның дискрет теоремасы
  

Шулай ук карагыз

• Алгебраның төп теоремасы
  
• Арифметиканың төп теоремасы
  

Әдәбият

• Демидович Б. П. Отдел 3. Формула Ньютона — Лейбница // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 1990. — (Курс высшей математики и математической физики).
• Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
• Никифоровский В. А. Путь к интегралу. — М.: Наука, 1985.