Пи саны

Әйләнәнең диаметры бергә тигез дип алган очракта әйләнәнең озынлыгы «пи» саны була.

$\pi ~$$\pi ~$ («пи» дип әйтелә) — әйләнә озынлыгының диаметрына чагыштырмасына тигез булган математик даими. Бу билгеләмә бары тик Евклид геометриясендә генә дөрес.

Үзлекләре

Трансцендентлык һәм иррациональлек

• $\pi$$\pi$ — иррациональ сан, ягъни ул төгәл итеп m һәм n бөтен сан булган m/n вакланмасы рәвешендә күрсәтелә ала алмый. Башкача әйткәндә, аның унарлы күрсәтелеше беркайчан да тәмамланмый һәм периодик түгел.
• $\pi$$\pi$ — трансцендент сан, ягъни ул берәр бөтен коэффициентлы күпбуынның тамыры була алмый дигән сүз.

Нисбәтләр

$\pi$$\pi$ саны белән бәйләнешле күпсанлы формулалар бар. Шулардан кайберләре:

• Франсуа Виет, 1593:

${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \ldots$${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \ldots$

• Валлис формуласы:

${\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}$${\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}$

• Лейбниц рәте:

${\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}$${\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}$

• Эйлер бердәйлеге:

$e^{i\pi }+1=0\;$$e^{i\pi }+1=0\;$

• «Пуассон интегралы» яки «Гаусс интегралы»

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\ e^{-x^{2}}{dx}={\sqrt {\pi }}$$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\ e^{-x^{2}}{dx}={\sqrt {\pi }}$

• Интеграль синус:

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{{\frac {\sin x}{x}}dx}=\pi$$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{{\frac {\sin x}{x}}dx}=\pi$