Скаляр тапкырчыгыш

Wikipedia — ирекле энциклопедия проектыннан
Моңа күчү: навигация, эзләү
Скаляр тапкырчыгышны векторлар проекциясе ярдәмендә аңлату

Скаляр тапкырчыгыш — ике вектор өстеннән операция нәтиҗәсендә кординатлар системасына бәйсез һәм векторларның озынлыгы һәм арасындагы почмакны тасвирлаучы сан (скаляр).

Х векторының озынлыгы һәм у векторының х векторына проекциясе тапкырчыгышы әлеге операциягә туры килә.

Гадәттә векторларның скаляр тапкырчыгышы болай билгеләнә:

,
,
,

квант механикасында халәт векторы өчен шулай ук Дирак билгәләмәсе кулланыла:

.

Гадәттә скаляр тапкырчыгыш уңай итеп билгеләнгән, ягъни:

барлык .

Югыйсә ул билгеләнмәгән тапкырчыгыш (тензор тапкырчыгышы) дип атала.

Алгебраик билгеләмә[үзгәртү | вики-текстны үзгәртү]

Ике вектор a = [a1, a2, ..., an] һәм b = [b1, b2, ..., bn] скаляр тапкырчыгышы n-үлчәмле чын фәзада болай билгеләнә:

.

Мәсәлән, өч-үлчәмле фәзада векторлар [1, 3, −5] һәм [4, −2, −1] скаляр тапкырчыгышы болай исәпләнә:

Комплекс векторлар a = [a1, a2, ..., an] һәм b = [b1, b2, ..., bn] скаляр тапкырчыгышы болай билгеләнә:

.

Мәсәлән,

Геометрик билгеләмә[үзгәртү | вики-текстны үзгәртү]

AB = |A| |B| cos(θ)

Векторлар озынлыгы һәм арасындагы почмак төшенчәләре кертелгән һәм билгеләнгән очракта (классик геометриядә нәкъ шулай була), скаляр тапкырчыгышы векторларның озынлыгы һәм алар арасындагы почмак ярдәмендә билгеләнә:

Заманча аксиоматикада баштарак скаляр тапкырчыгыш билгеләнә, ә аннан вектор озынлыгы һәм почмак чыгарыла.

Үзлекләре[үзгәртү | вики-текстны үзгәртү]

  • косинус теоремасы скаляр тапкырчыгыш ярдәмендә җиңел итеп чыгарыла:
  • Векторлар арасындагы почмак:
  • Векторлар арасындагы почмакны бәяләү:
    формуласында тамга почмакның косинусы белән билгеләнә (векторлар нормалары һаман уңай), шуңа күрә арасындагы почмак кысынкы булса, скаляр тапкырчыгыш > 0, ә әгәр арасындагы почмак җәенке булса, скаляр тапкырчыгыш < 0.
  • Векторның проекциясе:
    , чөнки
  • ортогональлек шарты (перпендикулярлык шарты) һәм векторлары өчен:
  • Ике вектор һәм - нигезендәге параллелограмм мәйданы:

Коши — Буняковский тигезсезлеге[үзгәртү | вики-текстны үзгәртү]

Сызыкча фәзада Һәр һәм элементлары өчен түбәндәге тигезсезлек үтәлә:

Заманча билгеләмә[үзгәртү | вики-текстны үзгәртү]

- вектор фәзасында - комплекс (яки чын) саннар кыры өстеннән скаляр тапкырчыгыш болай итеп билгеләнә - һәр пар элемент өчен түбәндәге шартлар үтәлә:

  1. сызыкча фәзасында һәр өч элемент һәм һәм теләгән санннар өчен:
(сызыклылык);
  1. һәр һәм өчен:
, биредә сызык - комплекс иярү[1] дип билгели;
  1. һәр өчен
, һәм тик булган очракта (скаляр тапкырчыгыш уңай).

Әдәбият[үзгәртү | вики-текстны үзгәртү]

  • Александрова Н. В. Формирование основных понятий векторного исчисления. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1982. — № 26. — С. 205-234.
  • Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966, 251 с.
  • Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-ое изд. УРСС, 2002)
  • Кумпяк Д. Е. Векторный и тензорный анализ. Учебное пособие. Тверь: Тверской гос. университет, 2007, 158 с.
  • Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Физматлит, 1963, 411 с.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — М.: Наука, 1966.
    • комплексное сопряжение