Пи саны

Әйләнәнең диаметры бергә тигез дип алган очракта әйләнәнең озынлыгы «пи» саны була.

$\pi~$ («пи» дип әйтелә) — әйләнә озынлыгының диаметрына чагыштырмасына тигез булган математик даими. Бу билгеләмә бары тик Евклид геометриясендә генә дөрес.

Үзлекләре

Трансцендентлык һәм иррациональлек

• $\pi$ — иррациональ сан, ягъни ул төгәл итеп m һәм n бөтен сан булган m/n вакланмасы рәвешендә күрсәтелә ала алмый. Башкача әйткәндә, аның унарлы күрсәтелеше беркайчан да тәмамланмый һәм периодик түгел.
• $\pi$ — трансцендент сан, ягъни ул берәр бөтен коэффициентлы күпбуынның тамыры була алмый дигән сүз.

Нисбәтләр

$\pi$ саны белән бәйләнешле күпсанлы формулалар бар. Шулардан кайберләре:

• Франсуа Виет, 1593:

$\frac2\pi= \frac{\sqrt{2}}2\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \ldots$

• Валлис формуласы:

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}$

• Лейбниц рәте:

$\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}$

• Эйлер бердәйлеге:

$e^{i \pi} + 1 = 0\;$

• «Пуассон интегралы» яки «Гаусс интегралы»

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi}$

• Интеграль синус:

$\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\frac{\sin x}{x}dx}=\pi$