Дивергенция (математика)

Вектор функциясе һәм аның дивергенциясе: кызыл төс дивергенция артуын, яшел төс кимүен күрсәтә

Дивергенция (лат. divergere — таралуны табу) — вектор кырын скаляр кырына әйләндерүче дифференциаль оператор, кечкенә өслек аша вектор кырының агымын тасвирлый, ягъни керүче һәм чыгучы вектор агымнарының ничек таралуын билгели.

Дивергенция операторы болай билгеләнә:

$\ \operatorname {div} \mathbf {F}$

яки

$\ \nabla \cdot \mathbf {F}$.

Математик билгеләмә

Математикада дивергенция болай билгеләнә:

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} =\lim _{V\rightarrow 0}{{\mathit {\Phi }}_{\ \mathbf {F} } \over V}$

биредә Ф_F — S мәйданлы сферик өслек аша F вектор кырының агымы, сфера V күләмен чикли.

Агым:

${\mathit {\Phi }}_{\ \mathbf {F} }=\iint \limits _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset \;({\vec {F}},d{\vec {S}})$.

Әлеге билгеләмә теләгән координаталарда кулланыла.

Декарт координатларында

Өч үлчәмле Декарт координатларында дивергенция болай билгеләнә:

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} ={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}\ \ \$

(биредә F - ниндидер вектор кыры һәм аның компонентлары $F_{x},F_{y},F_{z}$):

Набла операторы ярдәмендә болай языла:

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} \ \ \$

Физик аңлатма

Физикада вектор кырыннан дивергенция әлеге нокта - кырның чыганагы (яки китеме) булу-булмавын күрсәтә:

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} >0$ — кырның ноктасы кырның чыганагы булып тора;

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} <0$ — кырның ноктасы кырның китеме булып тора;

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} =0$ — кырның чыганаклары һәм китемнәре юк.

Үзлекләре

• Сызыклылык:

$\operatorname {div} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\;\operatorname {div} (\mathbf {F} )+b\;\operatorname {div} (\mathbf {G} )$

F , G - вектор кырлары, a , b - чын саннар.

• $\varphi$ — скаляр кыр, ә F — вектор кыры өчен:

$\operatorname {div} (\varphi \mathbf {F} )=\operatorname {grad} (\varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi \;\operatorname {div} (\mathbf {F} ),$ яки

$\nabla \cdot (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi \;(\nabla \cdot \mathbf {F} ).$

• ротор белән бәйләнеш:

$\operatorname {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=\operatorname {rot} (\mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} \;-\;\mathbf {F} \cdot \operatorname {rot} (\mathbf {G} ),$ яки

$\nabla \cdot (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} ).$

• градиенттан дивергенция лапласианга тигез:

$\operatorname {div} (\operatorname {grad} (\varphi ))=\Delta \varphi$

• ротордан дивергенция нульга тигез:

$\operatorname {div} (\operatorname {rot} (\mathbf {F} ))=0$

• Остроградский-Гаусс тигезләмәсе:

$\iiint \limits _{V}\mathrm {div} \,\mathbf {F} \,dV=\int \limits _{\;\,S}\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\!\!\;\subset \!\!\supset \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS,$

Әдәбият

• Александрова Н. В. Формирование основных понятий векторного исчисления. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1982. — № 26. — С. 205-234.
• Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966, 251 с.
• Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-ое изд. УРСС, 2002)
• Кумпяк Д. Е. Векторный и тензорный анализ. Учебное пособие. Тверь: Тверской гос. университет, 2007, 158 с.
• Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Физматлит, 1963, 411 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — М.: Наука, 1966.