Магнитогидродинамика

Магнитогидродинамика — гидродинамика һәм тоташ тирәлекләр электродинамикасы кисешкән урында барлыкка килгән физик дисциплина. Аның тикшерү обьекты булып магнит кырындагы үткәрүче сыеклык (газ) динамикасы тора. Мондый тирәлекләрнең мисаллары: төрле төрдәге плазма, сыек металлар, тозлы су. Магнитогидродинамиканың беренче тикшеренүчесе дип, бу хезмәтләре өчен 1970 елда нобель премиясенә лаек булган, Ханнес Альфвен таныла.

Магнит гидродинамикасы тигезләмәләре

Үткәрүче сыеклыкның релятивистик булмаган магнит гидродинамикасы тигезләмәләренең тулы системасы түбәндәгечә языла:

$\begin{cases} \rho\frac{\partial \vec v}{\partial t} + \rho (\vec v, \nabla) \vec v =- \nabla p - \frac{1}{4\pi}[\vec H \operatorname{rot} \vec H] + \eta \Delta \vec v + \left(\frac 13 \eta + \zeta\right)\nabla \operatorname{div}\vec v \\ p=p(\rho) \\ \frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div} \rho \vec v=0 \\ \frac{\partial \vec H}{\partial t} = - \frac {1}{\sigma} \frac{c^2}{4\pi} \operatorname{rot} \left[\nabla \times \vec H\right] + \operatorname{rot} \left[\vec v \times \vec H\right] \\ \nabla \cdot \vec H = 0 \end{cases}$

Монда $\ p$ — тирәлектәге басым, $\ \rho$ — тыгызлык, $\sigma$ — сыеклыкның үткәрүчәнлеге, $\eta$ — күчешле (сдвиговая) үзлелек, $\zeta$ — икенче үзлелек (күләм үзлелеге) а $\vec v$ — аның элементларының тизлекләре кыры. $\vec H$ — магнит кыры көчәнешлелеге.

Бу система 8 тигезләмәне үз эченә ала һәм, башлангыч һәм чик шартлар бирелгән булса, $\ p, \rho, \vec H, \vec v$ 8 билгесезне табарга мөмкинлек бирә.

Әгәр дә түбәндәге китерешләрне куллансак(диссипативсыз чик):

1. $\sigma \to \infty$
2. $\eta = 0 ,\quad \zeta =0$, МГД тигезләмәләр системасы гадирәк төрдә языла:

$\begin{cases} \rho\frac{\partial \vec v}{\partial t} + \rho (\vec v, \nabla) \vec v =- \nabla p - \frac{1}{4\pi}[\vec H \operatorname{rot} \vec H] \\ p=p(\rho) \\ \frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div} \rho \vec v=0 \\ \frac{\partial \vec H}{\partial t} = \operatorname{rot} \left[\vec v \times \vec H\right] \\ \nabla \cdot \vec H = 0 \end{cases}$

Кушымталар

Максвелл тигезләмәләреннән МГД тигезләмәләрен чыгару

Максвелл тигезләмәләре системасын СГС системасында языйк.

$\begin{cases} \nabla \times \vec E = - \frac 1c \frac{\partial \vec H}{\partial t} \\ \nabla \times \vec H = \frac 1c \frac{\partial \vec E}{\partial t} + \frac {4 \pi}{c} \vec j\\ \nabla \cdot \vec H = 0\\ \nabla \cdot \vec E = 0 \end{cases}$

Түбәндәге чамалаулардан чыгып эш итәбез:

1. Магнит үткәрүчәнлеге $\mu=1$
2. Электр корылмалары юк $\rho = 0$
3. Ом законы: $\vec j = \sigma \vec E + \frac {\sigma}{c} \vec v \times \vec H$

Релятивистик булмаган очрак ($v \ll c$) белән генә икләнербез, ягъни $\left| \nabla \times \vec H \right| \gg \left| \frac 1c \vec E \right|$

Бу китерүдә Максвелл тигезләмәләре түбәндәгечә языла:

$\begin{cases} \nabla \times \vec E = - \frac 1c \frac{\partial \vec H}{\partial t} \\ \nabla \times \vec H = \frac {4 \pi}{c} \vec j\\ \end{cases}$

$\vec E$ны Ом законы аша күрсәтеп, беренче тигезләмәгә куябыз:

$- \frac 1c \frac{\partial \vec H}{\partial t} = \nabla \times \left(\frac {1}{\sigma} \vec j - \frac 1c \vec v \times \vec H\right)$

Бу тигезләмәгә Максвеллның икенче тигезләмәсеннән токны куябыз һәм табабыз:

$- \frac 1c \frac{\partial \vec H}{\partial t} = \frac {1}{\sigma} \frac{c}{4\pi} \nabla \times \left[\nabla \times \vec H\right] - \frac 1c \nabla \times \left[\vec v \times \vec H\right]$

Идеаль үткәрүче сыеклыкның чигендә $\sigma \to \infty$ табабыз:

$\frac{\partial \vec H}{\partial t} = \nabla \times \left[\vec v \times \vec H\right]$

Гидродинамика белән бәйләнеш өчен, Навье — Стокс тигезләмәсенә, магнит кыры тарафыннан токларга тәэсир итүче Ампер көче өчен җаваплы, әгъза кертәләр(ток Максвеллның икенче тигезләмәсеннән, магнит кыры көчәнешлелеге аша чыгарыла):

$\vec f = \frac 1c \left[ \vec j \times \vec H \right] = - \frac{1}{4 \pi} \left[ \vec H\times \operatorname{rot}\vec H \right]$

Моны да карагыз

• Магнитогидродинамик эшкәртү
• МГД-генератор
• Электрогидродинамика
• Тоташ тирәлекләр электродинамикасы
• Динамо-эффект