Wikipedia — ирекле энциклопедия проектыннан ([http://tt.wikipedia.org.ttcysuttlart1999.aylandirow.tmf.org.ru/wiki/Магнитогидродинамика latin yazuında])
Магнитогидродинамика — гидродинамика һәм тоташ тирәлекләр электродинамикасы кисешкән урында барлыкка килгән физик дисциплина. Аның тикшерү обьекты булып магнит кырындагы үткәрүче сыеклык (газ) динамикасы тора. Мондый тирәлекләрнең мисаллары: төрле төрдәге плазма , сыек металлар , тозлы су.
Магнитогидродинамиканың беренче тикшеренүчесе дип, бу хезмәтләре өчен 1970 елда нобель премиясенә лаек булган, Ханнес Альфвен таныла.
Үткәрүче сыеклыкның релятивистик булмаган магнит гидродинамикасы тигезләмәләренең тулы системасы түбәндәгечә языла:
{
ρ
∂
v
→
∂
t
+
ρ
(
v
→
,
∇
)
v
→
=
−
∇
p
−
1
4
π
[
H
→
rot
H
→
]
+
η
Δ
v
→
+
(
1
3
η
+
ζ
)
∇
div
v
→
p
=
p
(
ρ
)
∂
ρ
∂
t
+
div
ρ
v
→
=
0
∂
H
→
∂
t
=
−
1
σ
c
2
4
π
rot
[
∇
×
H
→
]
+
rot
[
v
→
×
H
→
]
∇
⋅
H
→
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}\rho {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\rho ({\vec {v}},\nabla ){\vec {v}}=-\nabla p-{\frac {1}{4\pi }}[{\vec {H}}\operatorname {rot} {\vec {H}}]+\eta \Delta {\vec {v}}+\left({\frac {1}{3}}\eta +\zeta \right)\nabla \operatorname {div} {\vec {v}}\\p=p(\rho )\\{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} \rho {\vec {v}}=0\\{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=-{\frac {1}{\sigma }}{\frac {c^{2}}{4\pi }}\operatorname {rot} \left[\nabla \times {\vec {H}}\right]+\operatorname {rot} \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]\\\nabla \cdot {\vec {H}}=0\end{cases}}}
Монда
p
{\displaystyle \ p}
— тирәлектәге басым,
ρ
{\displaystyle \ \rho }
— тыгызлык,
σ
{\displaystyle \sigma }
— сыеклыкның үткәрүчәнлеге,
η
{\displaystyle \eta }
— күчешле (сдвиговая) үзлелек,
ζ
{\displaystyle \zeta }
— икенче үзлелек (күләм үзлелеге) а
v
→
{\displaystyle {\vec {v}}}
— аның элементларының тизлекләре кыры.
H
→
{\displaystyle {\vec {H}}}
— магнит кыры көчәнешлелеге .
Бу система 8 тигезләмәне үз эченә ала һәм, башлангыч һәм чик шартлар бирелгән булса,
p
,
ρ
,
H
→
,
v
→
{\displaystyle \ p,\rho ,{\vec {H}},{\vec {v}}}
8 билгесезне табарга мөмкинлек бирә.
Әгәр дә түбәндәге китерешләрне куллансак(диссипативсыз чик):
σ
→
∞
{\displaystyle \sigma \to \infty }
η
=
0
,
ζ
=
0
{\displaystyle \eta =0,\quad \zeta =0}
, МГД тигезләмәләр системасы гадирәк төрдә языла:
{
ρ
∂
v
→
∂
t
+
ρ
(
v
→
,
∇
)
v
→
=
−
∇
p
−
1
4
π
[
H
→
rot
H
→
]
p
=
p
(
ρ
)
∂
ρ
∂
t
+
div
ρ
v
→
=
0
∂
H
→
∂
t
=
rot
[
v
→
×
H
→
]
∇
⋅
H
→
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}\rho {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\rho ({\vec {v}},\nabla ){\vec {v}}=-\nabla p-{\frac {1}{4\pi }}[{\vec {H}}\operatorname {rot} {\vec {H}}]\\p=p(\rho )\\{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} \rho {\vec {v}}=0\\{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\operatorname {rot} \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]\\\nabla \cdot {\vec {H}}=0\end{cases}}}
Максвелл тигезләмәләреннән МГД тигезләмәләрен чыгару [ үзгәртү | вики-текстны үзгәртү ]
Максвелл тигезләмәләре системасын СГС системасында языйк.
{
∇
×
E
→
=
−
1
c
∂
H
→
∂
t
∇
×
H
→
=
1
c
∂
E
→
∂
t
+
4
π
c
j
→
∇
⋅
H
→
=
0
∇
⋅
E
→
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}\nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}\\\nabla \times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\\\nabla \cdot {\vec {H}}=0\\\nabla \cdot {\vec {E}}=0\end{cases}}}
Түбәндәге чамалаулардан чыгып эш итәбез:
Магнит үткәрүчәнлеге
μ
=
1
{\displaystyle \mu =1}
Электр корылмалары юк
ρ
=
0
{\displaystyle \rho =0}
Ом законы:
j
→
=
σ
E
→
+
σ
c
v
→
×
H
→
{\displaystyle {\vec {j}}=\sigma {\vec {E}}+{\frac {\sigma }{c}}{\vec {v}}\times {\vec {H}}}
Релятивистик булмаган очрак (
v
≪
c
{\displaystyle v\ll c}
) белән генә икләнербез, ягъни
|
∇
×
H
→
|
≫
|
1
c
E
→
|
{\displaystyle \left|\nabla \times {\vec {H}}\right|\gg \left|{\frac {1}{c}}{\vec {E}}\right|}
Бу китерүдә Максвелл тигезләмәләре түбәндәгечә языла:
{
∇
×
E
→
=
−
1
c
∂
H
→
∂
t
∇
×
H
→
=
4
π
c
j
→
{\displaystyle {\begin{cases}\nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}\\\nabla \times {\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\\\end{cases}}}
E
→
{\displaystyle {\vec {E}}}
ны Ом законы аша күрсәтеп, беренче тигезләмәгә куябыз:
−
1
c
∂
H
→
∂
t
=
∇
×
(
1
σ
j
→
−
1
c
v
→
×
H
→
)
{\displaystyle -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\nabla \times \left({\frac {1}{\sigma }}{\vec {j}}-{\frac {1}{c}}{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right)}
Бу тигезләмәгә Максвеллның икенче тигезләмәсеннән токны куябыз һәм табабыз:
−
1
c
∂
H
→
∂
t
=
1
σ
c
4
π
∇
×
[
∇
×
H
→
]
−
1
c
∇
×
[
v
→
×
H
→
]
{\displaystyle -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}={\frac {1}{\sigma }}{\frac {c}{4\pi }}\nabla \times \left[\nabla \times {\vec {H}}\right]-{\frac {1}{c}}\nabla \times \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]}
Идеаль үткәрүче сыеклыкның чигендә
σ
→
∞
{\displaystyle \sigma \to \infty }
табабыз:
∂
H
→
∂
t
=
∇
×
[
v
→
×
H
→
]
{\displaystyle {\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\nabla \times \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]}
Гидродинамика белән бәйләнеш өчен, Навье — Стокс тигезләмәсенә, магнит кыры тарафыннан токларга тәэсир итүче Ампер көче өчен җаваплы, әгъза кертәләр(ток Максвеллның икенче тигезләмәсеннән, магнит кыры көчәнешлелеге аша чыгарыла):
f
→
=
1
c
[
j
→
×
H
→
]
=
−
1
4
π
[
H
→
×
rot
H
→
]
{\displaystyle {\vec {f}}={\frac {1}{c}}\left[{\vec {j}}\times {\vec {H}}\right]=-{\frac {1}{4\pi }}\left[{\vec {H}}\times \operatorname {rot} {\vec {H}}\right]}