Тейлор рәте

Тейлор рәте - функцияне дәрәҗәле функцияләрнең чиксез суммасына таркату.

Тейлор үз эшен бастырганга кадәр шул рәтне 17 гасырда Ньютон һәм Герегори кулланганнар.

${a}$ ноктасында чиксез рәвештә дифференциалана торган $f(x)$ функциясенең Тейлор рәте болай бирелә:

$f(x)$ = $f(a)+{f'(a) \over 1!}(x-a)+{f''(a) \over 2!}(x-a)^{2}+...+{f^{(n)}(a) \over n!}(x-a)^{n}+...$ = $\sum _{k=0}^{\infty }{f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^{k}$

биредә $a$ - параметр

Экспоненциаль фунция e^x - зәңгәр төстә, Тейлор рәтенең 0...n+1 әгъзалары (кызыл төстә) экспонентага омтыла

$a=0$ булган очракта Маклорен рәте дип йөртелә

Әгәр $x=a$ ноктасында $f(x)$ функциясе чиксез туры килүче дәрәҗәле функциональ рәт $a$: $f(x)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{{b_{k}}{{(x-a)}^{k}}}$ төрендә язылып булса, әлеге функция - аналитик функция дип атала.

Тейлор рәтенең җыелучанлык өлкәсе

Әгәр билгеләнгән өлкәдә аналитик функция үз Тейлор рәтенә тигез булса, ул өлкә - Тейлор рәтенең җыелучанлык өлкәсе дип атала.

Мәсәлән: $f(x)={\frac {1}{1-x}}$ функциясе Тейлор рәтенә таркатылып була: ${\frac {1}{1-x}}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{x^{k}}$ (билгеле геометрик прогрессия)

Ләкин бу функция $x=1$ ноктада билгеләнмәгән, шуңа күрә Тейлор рәте тик $|x|<1$ өлкәсендә җыела.

Тейлор рәтенең җыелучанлык радиусы Даламбер формуласында билгеләнә:

$R=\lim _{k\to \infty }\left|{\frac {b_{k}}{b_{k+1}}}\right|=\lim _{k\to \infty }\left|{\frac {\frac {{f^{(k)}}(a)}{k!}}{\frac {{f^{(k+1)}}(a)}{(k+1)!}}}\right|=\lim _{k\to \infty }\left|{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{{f^{(k+1)}}(a)}}(k+1)}\right|$.

Тейлор тигезләмәсе

Әгәр $f(x)$ функциясе $a$ һәм $x$ арасындагы кисемтәдә $n+1$ чыгарылмага ия булса, шунда $\xi$ ноктасы янында функцияне болай таркатып була:

$f(x)=\sum _{k=0}^{n}{f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^{k}+\left({x-a \over x-\xi }\right)^{p}{(x-\xi )^{n+1} \over n!p}f^{(n+1)}(\xi ).$

икенче әгъза - калдык әгъза дип атала

Калдык әгъза бирничә формада бирелеп була:

• Лагранж: $R_{n}(x)={(x-a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]\qquad p=n+1;\qquad 0<\theta <1$
• Коши: $R_{n}(x)={(x-a)^{n+1}(1-\theta )^{n} \over n!}f^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]\qquad p=1;\qquad 0<\theta <1$
• интеграль формада: $R_{n}(x)={1 \over n!}\int \limits _{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)\,dt$

Кайбер функцияләрнең Маклорен рәтләре

Тейлор рәте $a=0$ булган очракта Маклорен рәте дип йөртелә:

• Экспонента: $\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=1+{\dfrac {x}{1!}}+{\dfrac {x^{2}}{2!}}+{\dfrac {x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {x^{n}}{n!}},x\in \mathbb {C}$
• Натураль логарифм: $\displaystyle \ln(1+x)=x-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {x^{3}}{3}}-\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}x^{n+1}}{(n+1)}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n}},$ барлык $-1<x\leq 1$ өчен
• Ньютон биномы: $\displaystyle (1+x)^{\alpha }=1+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n},$ для всех $\left|x\right|<1$ һәм барлык комплекс $\alpha ,$ өчен , биредә $\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\dfrac {\alpha -k+1}{k}}={\dfrac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}$
  • Квадрат тамыр: $\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\dfrac {x}{2}}-{\dfrac {x^{2}}{8}}+{\dfrac {x^{3}}{16}}-\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^{2}4^{n}}}x^{n},$ бар $|x|<1$ өчен
  • ${\dfrac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }x^{n},$ барлык $|x|<1$ өчен
  • Чикле геометрик рәт: $\displaystyle {\dfrac {1-x^{m+1}}{1-x}}=\sum \limits _{n=0}^{m}x^{n},$ бар $x\not =1,\ m\in \mathbb {N} _{0}$ өчен
• Тригонометрик функцияләр:
  • Синус: $\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}},x\in \mathbb {C}$
  • Косинус: $\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n},x\in \mathbb {C}$
  • Тангенс: $\displaystyle \operatorname {tg} \ x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1},$ барлык $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}},$ өчен, $B_{2n}$ — Бернулли саннары
  • Секанс: $\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}$ барлык $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}}$ өчен
  • Арксинус: $\displaystyle \arcsin x=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}$ барлык $\left|x\right|<1$ өчен
  • Арккосинус: $\displaystyle \arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}$ барлык $\left|x\right|<1$ өчен
  • Арктангенс: $\displaystyle \operatorname {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \ =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}$ барлык $\left|x\right|<1$ өчен
• Гиперболик функцияләр:
  • $\operatorname {sh} \,\left(x\right)=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1},x\in \mathbb {C}$
  • $\operatorname {ch} \,\left(x\right)=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n},x\in \mathbb {C}$
  • $\operatorname {th} \,\left(x\right)=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}$ барлык $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}}$ өчен
  • $\operatorname {arsh} \,\left(x\right)=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}$ барлык $\left|x\right|<1$ өчен
  • $\operatorname {arth} \,\left(x\right)=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}$ барлык $\left|x\right|<1$ өчен

Әдәбият

• Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ, ч. 1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов. М.: Проспект, 2004.
• Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
• Киселёв В. Ю., Пяртли А. С., Калугина Т. Ф. Высшая математика. Первый семестр, Интерактивный компьютерный учебник.
• Петрова С. С., Романовска Д. А. К истории открытия ряда Тэйлора. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1980. — № 25. — С. 10-24.
• Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике, изд.: АЙРИС-пресс, 2002.