Тейлор рәте - функцияне дәрәҗәле функцияләрнең чиксез суммасына таркату.
Тейлор үз эшен бастырганга кадәр шул рәтне 17 гасырда Ньютон һәм Герегори кулланганнар.
ноктасында чиксез рәвештә дифференциалана торган
функциясенең Тейлор рәте болай бирелә:
=
=
биредә
- параметр
Экспоненциаль фунция ex - зәңгәр төстә, Тейлор рәтенең 0...n+1 әгъзалары (кызыл төстә) экспонентага омтыла
булган очракта Маклорен рәте дип йөртелә
Әгәр
ноктасында
функциясе чиксез туры килүче дәрәҗәле функциональ рәт
:
төрендә язылып булса, әлеге функция - аналитик функция дип атала.
Әгәр билгеләнгән өлкәдә аналитик функция үз Тейлор рәтенә тигез булса, ул өлкә - Тейлор рәтенең җыелучанлык өлкәсе дип атала.
Мәсәлән:
функциясе Тейлор рәтенә таркатылып була:
(билгеле геометрик прогрессия)
Ләкин бу функция
ноктада билгеләнмәгән, шуңа күрә Тейлор рәте тик
өлкәсендә җыела.
Тейлор рәтенең җыелучанлык радиусы Даламбер формуласында билгеләнә:
.
Әгәр
функциясе
һәм
арасындагы кисемтәдә
чыгарылмага ия булса, шунда
ноктасы янында функцияне болай таркатып була:
икенче әгъза - калдык әгъза дип атала
Калдык әгъза бирничә формада бирелеп була:
- Лагранж:
![{\displaystyle R_{n}(x)={(x-a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]\qquad p=n+1;\qquad 0<\theta <1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a9581ea19ed64de9723d6f3725f0470e9a0f23c)
- Коши:
![{\displaystyle R_{n}(x)={(x-a)^{n+1}(1-\theta )^{n} \over n!}f^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]\qquad p=1;\qquad 0<\theta <1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/616cdc3cb043af06990a174a073b35ea0e3fbee1)
- интеграль формада:

Тейлор рәте
булган очракта Маклорен рәте дип йөртелә:
- Экспонента:

- Натураль логарифм:
барлык
өчен
- Ньютон биномы:
для всех
һәм барлык комплекс
өчен , биредә
- Квадрат тамыр:
бар
өчен
барлык
өчен
- Чикле геометрик рәт:
бар
өчен
- Тригонометрик функцияләр:
- Синус:

- Косинус:

- Тангенс:
барлык
өчен,
— Бернулли саннары
- Секанс:
барлык
өчен
- Арксинус:
барлык
өчен[1]
- Арккосинус:
барлык
өчен
- Арктангенс:
барлык
өчен
- Гиперболик функцияләр:


барлык
өчен
барлык
өчен
барлык
өчен
- Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ, ч. 1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов. М.: Проспект, 2004.
- Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
- Киселёв В. Ю., Пяртли А. С., Калугина Т. Ф. Высшая математика. Первый семестр, Интерактивный компьютерный учебник.
- Петрова С. С., Романовска Д. А. К истории открытия ряда Тэйлора. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1980. — № 25. — С. 10-24.
- Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике, изд.: АЙРИС-пресс, 2002.
- ↑ При значении x, близком к 1, эта расчётная формула даёт большую погрешность. Поэтому можно воспользоваться формулой
где